10 Bài tập Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình đường thẳng Δ là ax + by + c = 0 (với a$^{2}$ + b$^{2}$ ≠ 0).

Điểm A(–1; 2) thuộc vào đường thẳng Δ tức là –a + 2b + c = 0 suy ra c = a – 2b (1)

Khoảng cách từ B(3; 5) đến đường thẳng Δ bằng 3 nên ta có:

$\frac{|3a+5b+c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=3\Leftrightarrow |3a+5b+c|=3\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}(2)$

Thay (1) vào (2), ta có:

$|4a+3b|=3\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\Leftrightarrow 16{a}^{2}+24ab+9{b}^{2}=9{a}^{2}+9{b}^{2}$

$\Leftrightarrow 7{a}^{2}+24ab=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}a=0 \\ 7a+24b=0\end{matrix}$.

Với a = 0, chọn b = 1 suy ra c = –2. Vậy đường thẳng Δ$_{1}$: y – 2 = 0.

Với 7a + 24b = 0, chọn b = –7 suy ra a = 24, c = 38. Vậy phương trình đường thẳng Δ$_{2}$: 24x – 7y + 38 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(2;1)$

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ nên d nhận ${\overrightarrow{n}}_{d}=(1;-2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Khi đó giả sử đường thẳng d có phương trình dạng: x – 2y + c = 0.

Vì d cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng $\sqrt{5}$ nên ta có:

$d(M,d)=\sqrt{5}\Leftrightarrow \frac{|3-2\cdot (-2)+c|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow |c+7|=5\Leftrightarrow [\begin{matrix}c=-12 \\ c=-2\end{matrix}$.

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: d$_{1}$: x – 2y – 12 = 0 và d$_{2}$: x – 2y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 4y + c = 0.

Lấy điểm M(–1; 1) thuộc vào d’ nên ta có:

$d(d,{d}^{'})=d(M,{d}^{'})=2\Leftrightarrow \frac{|-3+4+c|}{5}=2\Leftrightarrow |c+1|=10\Leftrightarrow [\begin{matrix}c=9 \\ c=-11\end{matrix}$.

Với c = 9 ta có d : 3x + 4y + 9 = 0.

Với c = –11 ta có d: 3x + 4y – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=(12;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-3;-1)=-4\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng d cách đều A, B, C là đường thẳng song song hoặc trùng với AB.

Ta thấy trong 4 phương án, không có đường thẳng nào đi qua A nên ta loại trường hợp d trùng AB. Khi đó đường thẳng d // AB.

Ta thấy đường thẳng x – 3y + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-3)$ nên nhận $\overrightarrow{AB}=(12;4)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng này song song với AB.

Vậy ta chọn phương án A.