10 Bài tập Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình đường thẳng Δ là ax + by + c = 0 (với a$^{2}$ + b$^{2}$ ≠ 0).

Điểm A(–1; 2) thuộc vào đường thẳng Δ tức là –a + 2b + c = 0 suy ra c = a – 2b (1)

Khoảng cách từ B(3; 5) đến đường thẳng Δ bằng 3 nên ta có:

$\frac{|3a+5b+c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=3\Leftrightarrow |3a+5b+c|=3\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}(2)$

Thay (1) vào (2), ta có:

$|4a+3b|=3\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\Leftrightarrow 16{a}^{2}+24ab+9{b}^{2}=9{a}^{2}+9{b}^{2}$

$\Leftrightarrow 7{a}^{2}+24ab=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}a=0 \\ 7a+24b=0\end{matrix}$.

Với a = 0, chọn b = 1 suy ra c = –2. Vậy đường thẳng Δ$_{1}$: y – 2 = 0.

Với 7a + 24b = 0, chọn b = –7 suy ra a = 24, c = 38. Vậy phương trình đường thẳng Δ$_{2}$: 24x – 7y + 38 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(2;1)$

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ nên d nhận ${\overrightarrow{n}}_{d}=(1;-2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Khi đó giả sử đường thẳng d có phương trình dạng: x – 2y + c = 0.

Vì d cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng $\sqrt{5}$ nên ta có:

$d(M,d)=\sqrt{5}\Leftrightarrow \frac{|3-2\cdot (-2)+c|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow |c+7|=5\Leftrightarrow [\begin{matrix}c=-12 \\ c=-2\end{matrix}$.

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: d$_{1}$: x – 2y – 12 = 0 và d$_{2}$: x – 2y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 4y + c = 0.

Lấy điểm M(–1; 1) thuộc vào d’ nên ta có:

$d(d,{d}^{'})=d(M,{d}^{'})=2\Leftrightarrow \frac{|-3+4+c|}{5}=2\Leftrightarrow |c+1|=10\Leftrightarrow [\begin{matrix}c=9 \\ c=-11\end{matrix}$.

Với c = 9 ta có d : 3x + 4y + 9 = 0.

Với c = –11 ta có d: 3x + 4y – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=(12;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-3;-1)=-4\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng d cách đều A, B, C là đường thẳng song song hoặc trùng với AB.

Ta thấy trong 4 phương án, không có đường thẳng nào đi qua A nên ta loại trường hợp d trùng AB. Khi đó đường thẳng d // AB.

Ta thấy đường thẳng x – 3y + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-3)$ nên nhận $\overrightarrow{AB}=(12;4)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng này song song với AB.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử M(x; y) là điểm cách đường thẳng Δ: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2.

Ta có:

$d(M,Δ)=2\Leftrightarrow \frac{|3x-4y+2|}{5}=2\Leftrightarrow |3x-4y+2|=10\Leftrightarrow [\begin{matrix}3x-4y+12=0 \\ 3x-4y-8=0\end{matrix}$.

Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà đường thẳng Δ luôn đi qua.

Khi đó x$_{0}$ + (m – 1)y$_{0}$ + m = 0 với mọi m

⇔ (y$_{0}$ + 1)m + x$_{0}$ – y$_{0}$ = 0 với mọi m

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{y}_{0}+1=0 \\ {x}_{0}-{y}_{0}=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{y}_{0}=-1 \\ {x}_{0}={y}_{0}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{0}=-1 \\ {y}_{0}=-1\end{matrix}$

Suy ra Δ luôn đi qua điểm cố định H(–1; –1).

Với A(5; 1) và H(–1; –1) ta có $\overrightarrow{AH}=(-6;-2)$ nên $AH=\sqrt{{(-6)}^{2}+{(-2)}^{2}}=2\sqrt{10}.$

Gọi M là hình chiếu của A trên Δ, ta có d(A, ∆) = AM ≤ AH.

Giá trị lớn nhất của d(A, Δ) = AH khi M ≡ H, suy ra maxd(A, Δ) = AH = $2\sqrt{10}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x; y) là điểm nằm trên đường thẳng song song và cách đều với d$_{1}$, d$_{2}$.

Ta có $d(M(x;y),{d}_{1})=d(M(x;y),{d}_{2})\Leftrightarrow \frac{|5x+3y-3|}{\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{|5x+3y+7|}{\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}5x+3y-3=5x+3y+7\ (vô\ lí) \\ 5x+3y-3=-5x-3y-7\end{matrix}$

$\Leftrightarrow 5x+3y+2=0.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng (d).

Khi đó ta có:$d(A,(d))=AH\le AB=\sqrt{{(3-1)}^{2}+{(4+1)}^{2}}=\sqrt{29}$.

Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{29}$ khi H ≡ B hay (d) ⊥ AB tại B.

Vì vậy (d) đi qua B và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình của đường thẳng (d) là 2(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 2x + 5y – 26 = 0.