10 Bài tập Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: AD = AE + EF + FD mà AE = EF = FD nên AD = 3AE.

Suy ra $AE = EF = FD = \frac{1}{3}AD$.

Do đó $AF = AE + EF = \frac{1}{3}AD + \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD$

Vì AD là đường trung tuyến và $AF = \frac{2}{3}AD$ nên F là trọng tâm của ΔABC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$ suy ra BG = 2GM.

Khi đó GK = BG = 2GM.

Suy ra M là trung điểm của GK.

Do đó I là giao điểm ba đường trung tuyến của ΔKGC.

Vậy I là trọng tâm của ΔKGC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do AD là đường trung tuyến của tam giác ABC mà $\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}$

Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.

Mặt khác, BG cắt AC tại E, CG cắt AB tại F.

Suy ra BE, CF lần lượt là hai đường trung tuyến của ΔABC.

Do đó E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB.

Theo tính chất của ba đường trung tuyến ta có:

$\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}$ suy ra $\frac{{BG}}{{EG}} = 2$;

$\frac{{CG}}{{CF}} = \frac{2}{3}$ suy ra $\frac{{CG}}{{FG}} = 2.$ Do đó $\frac{{FG}}{{CG}} = \frac{1}{2}$.

Vậy khẳng định ở phương án B là sai. Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó: $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.15 = 10$ (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ΔABD có AC = CD nên C là trung điểm của AD

Do đó BC là đường trung tuyến của ΔABD.

Mà BM = 2MC nên $BM = \frac{2}{3}BC$.

Ta có M nằm trên đường trung tuyến BC và thỏa mãn $BM = \frac{2}{3}BC$ nên M là trọng tâm của ΔABD.