10 Bài tập Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: AD = AE + EF + FD mà AE = EF = FD nên AD = 3AE.

Suy ra $AE = EF = FD = \frac{1}{3}AD$.

Do đó $AF = AE + EF = \frac{1}{3}AD + \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD$

Vì AD là đường trung tuyến và $AF = \frac{2}{3}AD$ nên F là trọng tâm của ΔABC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$ suy ra BG = 2GM.

Khi đó GK = BG = 2GM.

Suy ra M là trung điểm của GK.

Do đó I là giao điểm ba đường trung tuyến của ΔKGC.

Vậy I là trọng tâm của ΔKGC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do AD là đường trung tuyến của tam giác ABC mà $\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}$

Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.

Mặt khác, BG cắt AC tại E, CG cắt AB tại F.

Suy ra BE, CF lần lượt là hai đường trung tuyến của ΔABC.

Do đó E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB.

Theo tính chất của ba đường trung tuyến ta có:

$\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}$ suy ra $\frac{{BG}}{{EG}} = 2$;

$\frac{{CG}}{{CF}} = \frac{2}{3}$ suy ra $\frac{{CG}}{{FG}} = 2.$ Do đó $\frac{{FG}}{{CG}} = \frac{1}{2}$.

Vậy khẳng định ở phương án B là sai. Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó: $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.15 = 10$ (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ΔABD có AC = CD nên C là trung điểm của AD

Do đó BC là đường trung tuyến của ΔABD.

Mà BM = 2MC nên $BM = \frac{2}{3}BC$.

Ta có M nằm trên đường trung tuyến BC và thỏa mãn $BM = \frac{2}{3}BC$ nên M là trọng tâm của ΔABD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG là trung tuyến của tam giác

Mà AG cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC

Do đó MB = MC.

Lại có BE = CF (giả thiết)

Nên MB + BE = MC + CF hay ME = MF.

Suy ra AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của ΔAEF.

Mặt khác $AG = \frac{2}{3}AM$ (do G là trọng tâm của ΔABC).

Do đó G là trọng tâm của ΔAEF

Mà G là trọng tâm của ΔABC, nên hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm là điểm G.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$ nên BG = 2GM suy ra GK = BG = 2GM.

Khi đó M là trung điểm của GK.

Do đó I là giao điểm hai đường trung tuyến CM và GE của ΔKGC.

Suy ra I là trọng tâm của ΔKGC.

Nên $CI = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: ΔABC có hai đường trung tuyến BO, AM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $BI = \frac{2}{3}BO$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Ta có: ΔADC có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $DK = \frac{2}{3}DO$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)

Do đó: $BI = DK = \frac{2}{3}DO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD$

Suy ra $IK = BD - BI - DK = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD.$

Khi đó BI = IK = KD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra MB = MC.

Xét ΔBMD và ΔCME có:

BD = CE (giả thiết);

$\widehat {CBx} = \widehat {BCE}$ (cặp góc so le trong của Bx // AC);

MB = MC

Do đó ΔBMD = ΔCME (c.g.c).

Suy ra MD = ME (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {BMD} = \widehat {CME}$ (hai góc tương ứng)

Ta có $\widehat {BME} + \widehat {CME} = 180^\circ$ (kề bù).

Do đó $\widehat {BME} + \widehat {BMD} = 180^\circ$ suy ra D, M, E thẳng hàng.

Ta có ba điểm D, M, E thẳng hàng và MD = ME nên M là trung điểm của DE.

Khi đó ΔABC và ΔADE chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G của hai tam giác này trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Xét ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC, do đó $GB = \frac{2}{3}BE$ và $GC = \frac{2}{3}CF.$

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC$

Hay $\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC$

Do đó $BE + CF > \frac{3}{2}BC$ (1).

Chứng minh tương tự ta được:

⦁ $AD + BE > \frac{3}{2}AB$ (2).

⦁ $AD + CF > \frac{3}{2}AC$ (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

$2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC$

Suy ra $2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)$

Do đó $AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right).$

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’ (theo cách dựng);

$\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}$ (hai góc đối đỉnh);

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC)

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ 2BE < AB + BC (5).

⦁ 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.