10 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Vì NC = 2NA nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Ta có:

$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$ (vì K là trung điểm của MN)

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

$=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

$=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF}$ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)

$=2(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF})=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (do O là trung điểm của EF).

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

$=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

$=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF}$ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)

$=2(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF})=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (do O là trung điểm của EF)

Do đó, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})$ (quy tắc ba điểm)

$=4\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC thì với O là một điểm bất kì ta luôn có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Vậy $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

Có: $\widehat{ABD}={90}^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó, BD vuông góc với AB.

Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.

Do đó, BD // CH.

Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.

Do đó, HBDC là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta có: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HB})+(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HC})$ (quy tắc ba điểm)

$=2\overrightarrow{OH}+(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})=2\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HD}$.

Vậy $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ = $2\overrightarrow{OH}$+ $\overrightarrow{HD}$.