10 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Vì NC = 2NA nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Ta có:

$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$ (vì K là trung điểm của MN)

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

$=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

$=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF}$ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)

$=2(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF})=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (do O là trung điểm của EF).

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

$=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

$=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF}$ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)

$=2(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF})=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (do O là trung điểm của EF)

Do đó, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})$ (quy tắc ba điểm)

$=4\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC thì với O là một điểm bất kì ta luôn có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Vậy $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

Có: $\widehat{ABD}={90}^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó, BD vuông góc với AB.

Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.

Do đó, BD // CH.

Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.

Do đó, HBDC là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta có: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HB})+(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HC})$ (quy tắc ba điểm)

$=2\overrightarrow{OH}+(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})=2\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HD}$.

Vậy $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ = $2\overrightarrow{OH}$+ $\overrightarrow{HD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

Có: $\widehat{ABD}={90}^{o}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn)

Do đó, BD vuông góc với AB

MÀ CH vuông góc với AB vì H là trực tâm

Do đó, BD // CH

Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.

Do đó, HBDC là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta có: $\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}-(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{OA}$ (do A đối xứng với D qua O nên O là trung điểm của AD).

Vậy $\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{OA}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

Do F là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MF}$.

Do D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}$.

Do E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{ME}$.

Từ đó, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME}$

$\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2(\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME})$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}$; $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}$

Mà I và J là trung điểm của AB, CD nên ta có: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0};\ \overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$

Nên ta có:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD})+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác BCD có:

I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD

Do đó, IJ lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD

$\Rightarrow \overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.

Ta có:

$2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA})$

$=2[(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AI})]$

$=2(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{JI})$ (quy tắc ba điểm)

$=2\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{JI}$

$=2\overrightarrow{DB}+2.\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$

$=3\overrightarrow{DB}$.

Vậy $2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA})=3\overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC, do đó $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}$

Vì I là trung điểm của AM nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}$.

Ta có:

$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

$=2(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC})$ (quy tắc ba điểm)

$=4\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})$

$=4\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IM}$

$=4\overrightarrow{OI}+2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM})$

$=4\overrightarrow{OI}+2.\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{OI}$.

Vậy $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OI}$.