Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình dưới đây.

Khi đó theo Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình $y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha$ (với g là gia tốc trọng trường).

Cho y = 0 ta được $\frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha = 0$, suy ra x = 0 hoặc $x = \frac{{v_0^2\sin 2\alpha }}{g}$.

Quả đạn tiếp đất khi $x = \frac{{v_0^2\sin 2\alpha }}{g}$.

Ta có $x = \frac{{v_0^2\sin 2\alpha }}{g} \le \frac{{v_0^2}}{g}$, dấu bằng xảy ra khi sin 2α = 1.

Giải phương trình sin 2α = 1, ta được α = $\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Do $0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ nên $\alpha = \frac{\pi }{4}$ hay α = 45°.

Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng 45°.

Lời giải:

+) Ta có: 2x – 4 = 0, suy ra x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình 2x – 4 = 0 là S$_{1}$ = {2}.

+) Ta có: (x – 2)(x$^{2}$ + 1) = 0

Vì x$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên x$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, (x – 2)(x$^{2}$ + 1) = 0 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình (x – 2)(x$^{2}$ + 1) = 0 là S$_{2}$ = {2}.

+) Nhận thấy S$_{1}$ = S$_{2}$ = {2}. Vậy hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm.

Lời giải:

+) Ta có: $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0$, điều kiện x ≠ – 1.

Khi đó, $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0$ khi x – 1 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0$ là S$_{1}$ = {1}.

+) Phương trình x$^{2}$ – 1 = 0 được viết lại thành (x – 1)(x + 1) = 0, từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = – 1, do đó tập nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 1 = 0 là S$_{2}$ = {– 1; 1}.

+) Nhận thấy S$_{1}$ ≠ S$_{2}$, vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

Lời giải:

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{\pi }{6}$ và $\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6}$, lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng $\frac{1}{2}$ nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có $\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$ và $\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}$.

Vậy trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có hai nghiệm là $x = \frac{\pi }{6}$, $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$ và $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải:

a) $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$ và $x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

b) sin 3x = – sin 5x

⇔ sin 3x = sin (– 5x)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - 5x + k2\pi \\3x = \pi - \left( { - 5x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - 5x + k2\pi \\3x = \pi + 5x + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = k2\pi \\ - 2x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}$ và $x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.