Bài tập Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất với sinx và cosx là:

asinx + bcosx = c.

Từ đó suy ra phương trình sinx + 2cosx = 2 là phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

cos$^{2}$x – 3cosx + 2 = 0

Đặt t = cosx (–1 ≤ t ≤ 1)

Phương trình trở thành:

t$^{2}$ – 3t + 2 = 0 ⇔ $[\begin{matrix}t=1 \\ t=2\end{matrix}$.

Với t = 1, ta có: cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ

Với t = 2, phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\{k2π|k\in ℤ\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos2x – sinx + 2 = 0

⇔ 1 – 2sin$^{2}$x – sinx + 2 = 0

⇔ 2sin$^{2}$x + sin x – 3 = 0

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=1\ (TM) \\ \sin x=\frac{-3}{2}\ (KTM)\end{matrix}$

Với sinx = 1 ⇔ x = $\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = $\frac{π}{4}$ vào phương trình 3tan$^{2}$x – 4tanx + 1 = 0 ta có:

$3{\tan }^{2}(\frac{π}{4})-4\tan (\frac{π}{4})+1=0$ (thỏa mãn)

Do đó, x = $\frac{π}{4}$ là một nghiệm của phương trình 3tan$^{2}$x – 4tanx + 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

sin3x + cos3x = 1

⇔ $\frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}$

⇔ $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\cos \frac{\pi }{4}.\sin 3x + \sin \frac{\pi }{4}.\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{2}{3}\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{2}{3}\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ.