Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

b) +) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x$_{1}$; x$_{2}$ ∈ [170; 175); x$_{3}$; x$_{4}$; x$_{5}$; x$_{6}$ ∈ [175; 180); x$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$; x$_{10}$; x$_{11}$ ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; y$_{3}$; ...; y$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y$_{10}$ + y$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y$_{1}$; y$_{2}$ ∈ [170; 175); y$_{3}$; y$_{4}$; y$_{5}$ ∈ [175; 180); y$_{6}$; y$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$ ∈ [180; 185); x$_{10}$; x$_{11}$; ...; x$_{19}$ ∈ [185; 190); x$_{20}$ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Lời giải

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

+) Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Sao La là:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{172{,}5.2+177{,}5.4+182{,}5.5+187{,}5.5+192{,}5.4}{20}\approx 183{,}75$(cm).

Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Kim Ngưu là:

$\overline{{x}_{2}}=\frac{172{,}5.2+177{,}5.3+182{,}5.4+187{,}5.10+192{,}5.1}{20}\approx 183{,}75$(cm).

Theo chiều cao trung bình thì cả hai đội có chiều cao như nhau.

+) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x$_{1}$; x$_{2}$ ∈ [170; 175); x$_{3}$; x$_{4}$; x$_{5}$; x$_{6}$ ∈ [175; 180); x$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$; x$_{10}$; x$_{11}$ ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Sao La là: ${M}_{e}=180+\frac{\frac{20}{2}-(2+4)}{5}(185-180)=184$.

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; y$_{3}$; ...; y$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y$_{10}$ + y$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y$_{1}$; y$_{2}$ ∈ [170; 175); y$_{3}$; y$_{4}$; y$_{5}$ ∈ [175; 180); y$_{6}$; y$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$ ∈ [180; 185); x$_{10}$; x$_{11}$; ...; x$_{19}$ ∈ [185; 190); x$_{20}$ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Kim Ngưu là: ${M}_{e}=190+\frac{\frac{20}{2}-(2+3+4)}{10}(195-190)=190{,}5$.

Dựa vào số trung vị ta thấy chiều cao của đội Kim Ngưu nhỉnh hơn chiều cao của đội Sao La.

Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{124}$ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{5}$ ∈ [21; 21,5), x$_{6}$; ...; x$_{17}$ ∈ [21,5; 22), x$_{18}$; ...; x$_{49}$ ∈ [22; 22,5), x$_{50}$; ...; x$_{94}$ ∈ [22,5; 23), x$_{95}$; ...; x$_{124}$ ∈ [23; 23,5).

Số trung vị của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}$(x$_{62}$ + x$_{63}$)

Mà x$_{62}$; x$_{63}$ ∈ [22,5; 23) do đó: M$_{e}$ = $22{,}5+\frac{\frac{124}{2}-49}{45}(23-22{,}5)\approx 22{,}6$.

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây.