Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

b) +) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x$_{1}$; x$_{2}$ ∈ [170; 175); x$_{3}$; x$_{4}$; x$_{5}$; x$_{6}$ ∈ [175; 180); x$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$; x$_{10}$; x$_{11}$ ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; y$_{3}$; ...; y$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y$_{10}$ + y$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y$_{1}$; y$_{2}$ ∈ [170; 175); y$_{3}$; y$_{4}$; y$_{5}$ ∈ [175; 180); y$_{6}$; y$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$ ∈ [180; 185); x$_{10}$; x$_{11}$; ...; x$_{19}$ ∈ [185; 190); x$_{20}$ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Lời giải

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

+) Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Sao La là:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{172{,}5.2+177{,}5.4+182{,}5.5+187{,}5.5+192{,}5.4}{20}\approx 183{,}75$(cm).

Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Kim Ngưu là:

$\overline{{x}_{2}}=\frac{172{,}5.2+177{,}5.3+182{,}5.4+187{,}5.10+192{,}5.1}{20}\approx 183{,}75$(cm).

Theo chiều cao trung bình thì cả hai đội có chiều cao như nhau.

+) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x$_{1}$; x$_{2}$ ∈ [170; 175); x$_{3}$; x$_{4}$; x$_{5}$; x$_{6}$ ∈ [175; 180); x$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$; x$_{10}$; x$_{11}$ ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Sao La là: ${M}_{e}=180+\frac{\frac{20}{2}-(2+4)}{5}(185-180)=184$.

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; y$_{3}$; ...; y$_{20}$ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y$_{10}$ + y$_{11}$)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y$_{1}$; y$_{2}$ ∈ [170; 175); y$_{3}$; y$_{4}$; y$_{5}$ ∈ [175; 180); y$_{6}$; y$_{7}$; x$_{8}$; x$_{9}$ ∈ [180; 185); x$_{10}$; x$_{11}$; ...; x$_{19}$ ∈ [185; 190); x$_{20}$ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x$_{10}$ + x$_{11}$) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Kim Ngưu là: ${M}_{e}=190+\frac{\frac{20}{2}-(2+3+4)}{10}(195-190)=190{,}5$.

Dựa vào số trung vị ta thấy chiều cao của đội Kim Ngưu nhỉnh hơn chiều cao của đội Sao La.

Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{124}$ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{5}$ ∈ [21; 21,5), x$_{6}$; ...; x$_{17}$ ∈ [21,5; 22), x$_{18}$; ...; x$_{49}$ ∈ [22; 22,5), x$_{50}$; ...; x$_{94}$ ∈ [22,5; 23), x$_{95}$; ...; x$_{124}$ ∈ [23; 23,5).

Số trung vị của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}$(x$_{62}$ + x$_{63}$)

Mà x$_{62}$; x$_{63}$ ∈ [22,5; 23) do đó: M$_{e}$ = $22{,}5+\frac{\frac{124}{2}-49}{45}(23-22{,}5)\approx 22{,}6$.

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây.

Số vận động viên được khảo sát là: n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{39}$ là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$ ∈ [0; 2), x$_{4}$; ...; x$_{11}$ ∈ [2; 4), x$_{12}$; ...; x$_{23}$ ∈ [4; 6), x$_{24}$; ...; x$_{35}$ ∈ [6; 8), x$_{36}$; ...; x$_{39}$ ∈ [8; 10).

Do đó đối với dãy số liệu x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{39}$ thì:

- Tứ phân vị thứ nhất là x$_{10}$ thuộc nhóm [2; 4);

- Tứ phân vị thứ hai là x$_{20}$ thuộc nhóm [4; 6);

- Tứ phân vị thứ ba là x$_{30}$ thuộc nhóm [6; 8).

Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ x$_{30}$ (giờ) trở lên.

Tổng số cuộc gọi điện thoại là: 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33 (cuộc gọi).

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{33}$ là số thời gian thực hiện cuộc gọi điện thoại sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{8}$ ∈ [0; 60), x$_{9}$; ...; x$_{18}$ ∈ [60; 120), x$_{19}$; ...; x$_{25}$ ∈ [120; 180), x$_{26}$; ...; x$_{30}$ ∈ [180; 240), x$_{31}$; x$_{32}$ ∈ [240; 300), x$_{33}$ ∈ [300; 360).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{33}$ là x$_{17}$. Vì x$_{17}$ ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: Q$_{2}$ = $60+\frac{\frac{33}{2}-8}{10}.(120-60)=111$.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{33}$ là x$_{8}$ và x$_{9}$ . Vì x$_{8}$ ∈ [0; 60) và x$_{9}$ ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: Q$_{1}$ = 60.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; ...; x$_{33}$ là x$_{25}$ và x$_{26}$. Vì x$_{25}$ ∈ [120; 180) và x$_{26}$ ∈ [180; 200) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: Q$_{3}$ = 180.

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: Q$_{1}$ = 60; Q$_{2}$ = 111; Q$_{3}$ = 180.

Hiệu chỉnh bảng số liệu ta được:

Tổng số số ngày có bệnh nhân đến khám là: 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{30}$ lần lượt là số bệnh nhân đến khám bệnh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{7}$ ∈ [0,5; 10,5), x$_{8}$; ...; x$_{15}$ ∈ [10,5; 20,5), x$_{16}$; ...; x$_{22}$ ∈ [20,5; 30,5), x$_{23}$; ...; x$_{28}$ ∈ [30,5; 40,5), x$_{29}$; x$_{30}$ ∈ [40,5; 50,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x$_{8}$ ∈ [10,5; 20,5) nên

Q$_{1}$ = $10{,}5+\frac{\frac{30}{4}-7}{8}.(20{,}5-10{,}5)\approx 11{,}1$.

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{15}$ và x$_{16}$. Vì x$_{15}$ ∈ [10,5; 20,5) và x$_{16}$ ∈ [20,5; 25,5) nên ta có: Q$_{2}$ = 20,5.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x$_{24}$ ∈ [30,5; 40,5) nên

Q$_{3}$ = $30{,}5+\frac{\frac{3.30}{4}-22}{6}.(40{,}5-30{,}5)\approx 31{,}3$.

Sắp xếp mẫu số liệu không giảm ta được:

6,5; 6,7; 6,7; 8,3; 8,4; 8,9; 9,2; 9,6; 9,8; 10,0; 10,0; 10,7; 10,9; 11,1; 11,2; 11,7; 11,9; 12,2; 12,5; 12,7; 13,1; 13,2; 13,6; 13,8.

Cỡ mẫu là n = 24 nên ta có:

Tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của giá trị thứ 12 và 13 ta được: ${Q}_{2}=\frac{10{,}7+10{,}9}{2}=10{,}8$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 6 và thứ 7 ta được:

${Q}_{1}=\frac{8{,}9+9{,}2}{2}=9{,}05$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 18 và 19 ta được:

${Q}_{3}=\frac{12{,}2+12{,}5}{2}\approx 12{,}35$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm:

c) Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{24}$ là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{3}$ ∈ [6; 8), x$_{4}$; ...; x$_{9}$ ∈ [8; 10), x$_{10}$; ...; x$_{17}$ ∈ [10; 12), x$_{18}$; ...; x$_{24}$ ∈ [12; 14).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{12}$ và x$_{13}$. Vì x$_{12}$; x$_{13}$∈ [10; 12) nên Q$_{2}$ = $10+\frac{\frac{24}{2}-9}{8}(12-10)=10{,}75$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{6}$ và x$_{7}$. Vì x$_{6}$; x$_{7}$ ∈ [8; 10) nên ${Q}_{1}=8+\frac{\frac{24}{4}-3}{6}(10-8)=9$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{18}$ và x$_{19}$. Vì x$_{18}$; x$_{19}$ ∈ [12; 14) nên ${Q}_{3}=12+\frac{\frac{3.24}{4}-17}{7}(14-12)\approx 12{,}3$.

a) Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

6; 8; 8; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14; 14; 15; 18; 18; 21; 22; 23; 24; 25; 25.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 ta được: ${Q}_{2}=\frac{14+14}{2}=14$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 ta được:

${Q}_{1}=\frac{11+11}{2}=11$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 15 và 16 ta được:

${Q}_{3}=\frac{21+22}{2}=21{,}5$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Ta có bảng hiểu chỉnh bảng trên như sau:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{20}$ là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{4}$ ∈ [5,5; 10,5), x$_{5}$; ...; x$_{12}$ ∈ [10,5; 15,5), x$_{13}$; x$_{14}$ ∈ [15,5; 20,5), x$_{15}$; ...; x$_{20}$ ∈ [20,5; 25,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{10}$ và x$_{11}$. Vì x$_{10}$; x$_{11}$ ∈ [10,5; 15,5) nên Q$_{2}$ = $10{,}5+\frac{\frac{20}{2}-4}{8}(15{,}5-10{,}5)=14{,}25$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{5}$ và x$_{6}$. Vì x$_{5}$; x$_{6}$ ∈ [10,5; 15,5) nên ${Q}_{1}=10{,}5+\frac{\frac{20}{4}-4}{8}(15{,}5-10{,}5)=11{,}125$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x$_{15}$ và x$_{16}$. Vì x$_{15}$; x$_{16}$ ∈ [20,5; 25,5) nên ${Q}_{3}=20{,}5+\frac{\frac{3.20}{4}-14}{6}(25{,}5-20{,}5)\approx 21{,}3$.

Ta có bảng giá trị đại diện:

+) Ước lượng số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{0{,}925.10+0{,}975.20+1{,}025.35+1{,}075.15+1{,}125.5}{85}\approx 1{,}016$.

+) Mốt của dãy số liệu thuộc vào [1,0; 1,05) nên ta có: ${M}_{0}=1{,}0+\frac{35-20}{35-20+35-15}.(1{,}05-1{,}0)\approx 1{,}02$.

+) Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; ...; x$_{85}$ là điện lượng của một số viên pin tiểu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{10}$ ∈ [0,9; 0,95), x$_{11}$; ...; x$_{30}$ ∈ [0,95; 1,0), x$_{31}$; ...; x$_{65}$ ∈ [1,0; 1,05), x$_{66}$; ...; x$_{80}$ ∈ [1,05; 1,1), x$_{81}$; ...; x$_{85}$ ∈ [1,1; 1,15).

Khi đó, ta có:

- Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là x$_{43}$ ∈ [1,0; 1,05) nên ${Q}_{2}=1{,}0+\frac{\frac{85}{2}-30}{35}.(1{,}05-1{,}0)\approx 1{,}02$.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}$(x$_{21}$ + x$_{22}$) ∈ [0,95; 1,0) nên

${Q}_{1}=0{,}95+\frac{\frac{85}{4}-10}{20}.(1{,}0-0{,}95)\approx 0{,}98$.

- Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}$(x$_{63}$ + x$_{64}$) ∈ [1,0; 1,05) nên

${Q}_{3}=1{,}0+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}.(1{,}05-1{,}0)\approx 1{,}05$.

a) Ta có bảng tần số ghép lớp như sau:

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{1{,}05.8+1{,}15.28+1{,}25.32+1{,}35.17}{8+28+32+17}\approx 1{,}22$ (kg).

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

$\overline{{x}_{2}}=\frac{1{,}05.13+1{,}15.14+1{,}25.24+1{,}35.14}{13+14+24+14}\approx 1{,}21$ (kg).

Suy ra cân nặng trung bình của hai giống lợn con đều gần như nhau.

+) Tổng số lợn con giống A là 85 con.

Gọi x$_{1}$; ...; x$_{85}$ là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống A theo thứ tự không giảm.

Ta có: x$_{1}$; ...; x$_{8}$ ∈ [1,0; 1,1), x$_{9}$; ...; x$_{36}$ ∈ [1,1; 1,2), x$_{37}$; ...; x$_{68}$ ∈ [1,2; 1,3), x$_{69}$; ...; x$_{85}$ ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị x$_{43}$ ∈ [1,2; 1,3) nên

${Q}_{2}=1{,}2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}.(1{,}3-1{,}2)\approx 1{,}22$ (kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(x$_{21}$ + x$_{22}$) và x$_{21}$, x$_{22}$ ∈ [1,1; 1,2) nên

${Q}_{1}=1{,}1+\frac{\frac{85}{4}-8}{28}.(1{,}2-1{,}1)\approx 1{,}15$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(x$_{63}$ + x$_{64}$) và x$_{63}$; x$_{64}$ ∈ [1,2; 1,3) nên

${Q}_{3}=1{,}2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}.(1{,}3-1{,}2)\approx 1{,}29$ (kg).

+) Tổng số lợn con giống B là 65 con.

Gọi y$_{1}$; ...; y$_{65}$ là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống B theo thứ tự không giảm.

Ta có: y$_{1}$; ...; y$_{13}$ ∈ [1,0; 1,1), y$_{14}$; ...; y$_{27}$ ∈ [1,1; 1,2), y$_{28}$; ...; y$_{51}$ ∈ [1,2; 1,3), y$_{52}$; ...; y$_{65}$ ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị y$_{33}$ ∈ [1,2; 1,3) nên

${Q}_{2}=1{,}2+\frac{\frac{65}{2}-27}{24}.(1{,}3-1{,}2)\approx 1{,}22$(kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(y$_{16}$ + y$_{17}$) và y$_{16}$, y$_{17}$ ∈ [1,1; 1,2) nên

${Q}_{1}=1{,}1+\frac{\frac{65}{4}-13}{14}.(1{,}2-1{,}1)\approx 1{,}12$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(y$_{49}$ + x$_{50}$) và y$_{49}$; y$_{50}$ ∈ [1,2; 1,3) nên

${Q}_{3}=1{,}2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}.(1{,}3-1{,}2)\approx 1{,}29$ (kg).