Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Giới hạn của hàm số có đáp án

Lời giải

Sau bài học này chúng ta sẽ biết:

Trong toán học giá trị 0,070 được gọi là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0,2.

Lời giải

a) Ta có bảng giá trị sau:

Ta có: ${\rm{limf}}({x_n}) = \lim \frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{n} = 2$.

b) Lấy dãy (x$_{n}$) bất kí thỏa mãn x$_{n}$ → 1 ta có:

f(x$_{n}$) = 2x$_{n}$

⇒ $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2$.

Lời giải

Đặt f(x) = x$^{2}$

Giả sử (x$_{n}$) là dãy số thỏa mãn limx$_{n}$ = 2.

⇒ limf(x$_{n}$) = $\lim x_n^2 = {2^2} = 4$.

Vậy $\mathop {{\mathop{\rm l}\nolimits} i{\rm{m}}}\limits_{x \to 2} {{\rm{x}}^2} = 4$.

Lời giải

a) Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 - 1} \right) = \lim x_n^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

$\Rightarrow \lim f\left( x \right) = 0$.

$\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {{x_n} + 1} \right) = \lim {x_n} + 1 = 2$

$\Rightarrow \lim g\left( x \right) = 2$.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x$^{2}$ – 1 + x + 1 = x$^{2}$ + x

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {x_n^2 + {x_n}} \right) = \lim x_n^2 + \lim {x_n} = {1^2} + 1 = 2$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = 2$.

Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 + 2 = 2$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 2$.

c) Ta có: f(x) – g(x) = x$^{2}$ – 1 – x – 1 = x$^{2}$ – x – 2

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) - g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {x_n^2 - {x_n} - 2} \right) = \lim x_n^2 - \lim {x_n} - 2 = {1^2} - 1 - 2 = - 2$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = - 2$.

Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 - 2 = - 2$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2$.

d) Ta có: f(x).g(x) = (x$^{2}$ – 1)(x + 1) = x$^{3}$ + x$^{2}$ – x – 1

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {x_n^3 + x_n^2 - {x_n} - 1} \right) = \lim x_n^3 + \lim x_n^2 - \lim {x_n} - 1 = {1^3} + {1^2} - 1 - 1 = 0$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = 0$.

Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0.2 = 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$.

e) Ta có: $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \frac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{g\left( {{x_n}} \right)}} = \lim \frac{{x_n^2 - 1}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 1} \right)\left( {{x_n} + 1} \right)}}{{{x_n} + 1}} = \lim \left( {{x_n} - 1} \right) = 0$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0$.

Ta lại có: $\frac{{\lim f\left( x \right)}}{{\lim g\left( x \right)}} = \frac{0}{2} = 0$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}$.

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x} \right) = 3.8 = 24$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + x + 3} \right)} = 3$.