Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Giới hạn của hàm số có đáp án

Lời giải

Sau bài học này chúng ta sẽ biết:

Trong toán học giá trị 0,070 được gọi là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0,2.

Lời giải

a) Ta có bảng giá trị sau:

Ta có: ${\rm{limf}}({x_n}) = \lim \frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{n} = 2$.

b) Lấy dãy (x$_{n}$) bất kí thỏa mãn x$_{n}$ → 1 ta có:

f(x$_{n}$) = 2x$_{n}$

⇒ $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2$.

Lời giải

Đặt f(x) = x$^{2}$

Giả sử (x$_{n}$) là dãy số thỏa mãn limx$_{n}$ = 2.

⇒ limf(x$_{n}$) = $\lim x_n^2 = {2^2} = 4$.

Vậy $\mathop {{\mathop{\rm l}\nolimits} i{\rm{m}}}\limits_{x \to 2} {{\rm{x}}^2} = 4$.

Lời giải

a) Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 - 1} \right) = \lim x_n^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

$\Rightarrow \lim f\left( x \right) = 0$.

$\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {{x_n} + 1} \right) = \lim {x_n} + 1 = 2$

$\Rightarrow \lim g\left( x \right) = 2$.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x$^{2}$ – 1 + x + 1 = x$^{2}$ + x

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {x_n^2 + {x_n}} \right) = \lim x_n^2 + \lim {x_n} = {1^2} + 1 = 2$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = 2$.

Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 + 2 = 2$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 2$.

c) Ta có: f(x) – g(x) = x$^{2}$ – 1 – x – 1 = x$^{2}$ – x – 2

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) - g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {x_n^2 - {x_n} - 2} \right) = \lim x_n^2 - \lim {x_n} - 2 = {1^2} - 1 - 2 = - 2$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = - 2$.

Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 - 2 = - 2$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2$.

d) Ta có: f(x).g(x) = (x$^{2}$ – 1)(x + 1) = x$^{3}$ + x$^{2}$ – x – 1

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {x_n^3 + x_n^2 - {x_n} - 1} \right) = \lim x_n^3 + \lim x_n^2 - \lim {x_n} - 1 = {1^3} + {1^2} - 1 - 1 = 0$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = 0$.

Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0.2 = 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$.

e) Ta có: $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$\lim \frac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{g\left( {{x_n}} \right)}} = \lim \frac{{x_n^2 - 1}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 1} \right)\left( {{x_n} + 1} \right)}}{{{x_n} + 1}} = \lim \left( {{x_n} - 1} \right) = 0$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0$.

Ta lại có: $\frac{{\lim f\left( x \right)}}{{\lim g\left( x \right)}} = \frac{0}{2} = 0$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}$.

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x} \right) = 3.8 = 24$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + x + 3} \right)} = 3$.

Lời giải

a) Xét dãy số (u$_{n}$) sao cho u$_{n}$ < 0 và lim u$_{n}$ = 0. Khi đó f(u$_{n}$) = – 1 và lim f(u$_{n}$) = – 1.

b) Xét dãy số (v$_{n}$) sao cho v$_{n}$ > 0 và lim v$_{n}$ = 0. Khi đó f(v$_{n}$) = 1 và lim f(v$_{n}$) = 1.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \sqrt {x + 4} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} x = 0 - 4 = - 4$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy:

a) Hàm số f(x) tiến dần tới giá trị 0 khi x dần tới dương vô cực.

b) Hàm số tiến dần tới âm vô cực thì giá trị f(x) gần tới giá trị 0.

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 2}}{{4x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {3 + \frac{2}{x}} \right)}}{{4 - \frac{5}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{4 - \frac{5}{x}}} = \frac{3}{4}$.

Lời giải

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới +∞.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới – ∞.

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{x + 2}} = - \infty$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty$.

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 10$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 5$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3 \ne 5 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$.

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = {2^2} - 4.2 + 3 = - 1$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 2} \right) = 1$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}$.

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{9x + 1}}{{3x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {9 + \frac{1}{x}} \right)}}{{x\left( {3 - \frac{4}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{9 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{4}{x}}} = 3$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{7x - 11}}{{2x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {7 - \frac{{11}}{x}} \right)}}{{x\left( {2 + \frac{3}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{7 - \frac{{11}}{x}}}{{2 + \frac{3}{x}}} = \frac{7}{2}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} = 1$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1$.

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{1}{{x - 6}} = - \infty$.

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} \frac{1}{{x - 7}} = + \infty$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50t}}{{t + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50t}}{{t\left( {1 + \frac{4}{t}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50}}{{1 + \frac{4}{t}}} = 50$.

Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày.

Lời giải

a) Chi phí trung bình $\overline C \left( x \right)$ để sản xuất một sản phẩm là:

$\overline C \left( x \right) = \frac{{50{\rm{ }}000{\rm{ }} + {\rm{ }}105x}}{x}$ (sản phẩm).

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50{\rm{ }}000{\rm{ }} + {\rm{ }}105x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{{50{\rm{ }}000}}{x}{\rm{ }} + {\rm{ }}105} \right)}}{x}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{50{\rm{ }}000}}{x}{\rm{ }} + {\rm{ }}105} \right) = 105$.

Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng.