Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Giới hạn của hàm số có đáp án

Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$ (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$.

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$.

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$.

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x$_{0}$; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{0}$ < x$_{n}$ < b và x$_{n}$ → x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L$.

B. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ → x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L$.

C. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{0}$ < x$_{n}$< b và x$_{n}$ → L, ta có f(x$_{n}$) → x$_{0}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L$.

D. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ < x$_{0}$ và x$_{n}$ → x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L$.

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$.

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty$.

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty$.

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty$.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L$.

B. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ thì L ≥ 0.

c. Nếu f(x) ≥ 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ thì L ≥ 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L$.

D. Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ thì L ≥ 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L$.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ > a và x$_{n}$→ +∞, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$.

B. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ < a và x$_{n}$ → +∞, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$.

C. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ > a, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$.

D. Nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ > a và x$_{n}$→ L, ta có f(x$_{n}$) →+∞ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$.

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8$.

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4$.

Cho$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4$, chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12$;

Cho$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4$, chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = 1$;

Cho$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4$, chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = 2$.

Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)$.

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( { - 4{x^2} + 3x + 1} \right)$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3}}{{x - 2}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{5}{{x + 2}}$.

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}}$;

Tính các giới hạn sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}$.

Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2$. Tính:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$;

Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2$. Tính:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3f\left( x \right)$.

Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty$. Chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}$.