Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Phép tính lũy thừa với số mũ thực có đáp án

Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó.

Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng như thế nào? Những phép lũy thừa đó có tính chất gì?

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a.

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

a) Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a.

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a.

a) Với mỗi số thực a, so sánh: $\sqrt{{a}^{2}}$ và |a|; $\sqrt[3]{{a}^{3}}$ và a.

b) Cho a, b là hai số thực dương. So sánh $\sqrt{a\cdot b}$ và $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}.\sqrt[4]{81};$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}.$

Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh ${2}^{{}^{\frac{6}{3}}}$ và 2$^{2}$;

b) So sánh ${2}^{{}^{\frac{6}{3}}}$ và $\sqrt[3]{{2}^{6}}.$

Xét số vô tỉ $\sqrt{2}=1{,}414213562...$

Xét dãy số hữu tỉ r$_{1}$ = 1; r$_{2}$ = 1,4; r$_{3}$ = 1,41; r$_{4}$ = 1,414; r$_{5}$ = 1,4142; r$_{6}$ = 1,41421; ... và $\lim {r}_{n}=\sqrt{2}.$ Bằng cách tính ${3}^{{r}_{n}}$ tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số (r$_{n}$) và $({3}^{{r}_{n}})$ với n = 1, 2, ..., 6. Người ta chứng minh được rằng khi n → +∞ thì dãy số $({3}^{{r}_{n}})$ dần đến một giới hạn mà ta gọi là ${3}^{\sqrt{2}}.$

Nêu dự đoán về giá trị của số ${3}^{\sqrt{2}}$ (đến hàng phần trăm).

Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) ${(-2{,}7)}^{-4};$

b) ${(\sqrt{3}-1)}^{\sqrt[3]{4}+1}.$

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) ${a}^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a};$

b) ${b}^{\frac{1}{2}}\cdot {b}^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b};$

c) ${a}^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a};$

d) $\sqrt[3]{b}:{b}^{\frac{1}{6}}.$

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) ${6}^{\sqrt{3}}$ và 36;

b) ${(0{,}2)}^{\sqrt{3}}$ và ${(0{,}2)}^{\sqrt{5}}$