Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Phép tính lũy thừa với số mũ thực có đáp án

– Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng dựa trên lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là a$^{n}$, là tích của n thừa số a:

a$^{n}$ = a . a . a ... a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

– Tính chất của lũy thừa mà ta đã học ở các lớp dưới:

⦁ a$^{m}$ . a$^{n}$ = a$^{m+n}$;

⦁ $\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n};$

⦁ ${(\frac{a}{b})}^{m}=\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}};$

⦁ (a . b)$^{m}$ = a$^{m}$ . b$^{m}$;

⦁ ${({a}^{m})}^{n}={a}^{m.n};$

⦁ Với a > 1 thì a$^{m}$ > a$^{n}$ ⇔ m > n;

⦁ Với 0 < a < 1 thì a$^{m}$ > a$^{n}$ ⇔ m < n.

a) Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là a$^{n}$, là tích của n thừa số a: a$^{n}$ = a . a . a ... a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

b) Quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a (với a khác 0) là: a$^{0}$ = 1.

Ta có:

$M={(\frac{1}{3})}^{12}\cdot {(\frac{1}{27})}^{-5}+{(0{,}4)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {(\frac{1}{32})}^{-1}.\ ={(\frac{1}{3})}^{12}\cdot {27}^{5}+{(\frac{2}{5})}^{-4}\cdot \frac{1}{{25}^{2}}\cdot {32}^{1}\ =\frac{1}{{3}^{12}}\cdot {({3}^{3})}^{5}+{(\frac{5}{2})}^{4}\cdot \frac{1}{{({5}^{2})}^{2}}\cdot {2}^{5}\ =\frac{1}{{3}^{12}}\cdot {3}^{15}+\frac{{5}^{4}}{{2}^{4}}\cdot \frac{1}{{5}^{4}}\cdot {2}^{5}\ ={3}^{3}+2=27+2=29.$

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x$^{2}$ = a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x$^{3}$ = a.

Ta thấy: 2$^{6}$ = 64 và (–2)$^{6}$ = 64

Do đó, 2 và –2 là căn bậc 6 của 64.

a) ⦁ Ta có: ${(\sqrt{{a}^{2}})}^{2}={a}^{2};\ {(|a|)}^{2}={a}^{2},$với mọi số thực a

Do đó $\sqrt{{a}^{2}}=|a|.$

⦁ Ta có: ${(\sqrt[3]{{a}^{3}})}^{3}={a}^{3};\ {(a)}^{3}={a}^{3},$ với mọi số thực a

Do đó $\sqrt[3]{{a}^{3}}=a.$

b) Với a, b là hai số thực dương, ta có: ${(\sqrt{a\cdot b})}^{2}=ab;\ {(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b})}^{2}=ab$

Do đó $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}=\sqrt[3]{{(\frac{5}{4})}^{3}}\cdot \sqrt[4]{{3}^{4}}=\frac{5}{4}\cdot 3=\frac{15}{4};$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}\cdot \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}=\sqrt[5]{\frac{98\cdot 343}{64}}=\sqrt[5]{\frac{2\cdot {7}^{2}\cdot {7}^{3}}{{2}^{6}}}=\sqrt[5]{\frac{{7}^{5}}{{2}^{5}}}=\sqrt[5]{{(\frac{7}{2})}^{5}}=\frac{7}{2}.$

a) Ta có: ${2}^{{}^{\frac{6}{3}}}={2}^{2};$

b) Ta có: $\sqrt[3]{{2}^{6}}=\sqrt[3]{{({2}^{2})}^{3}}={2}^{2}$

Mà ${2}^{{}^{\frac{6}{3}}}={2}^{2}$ nên ${2}^{{}^{\frac{6}{3}}}=\sqrt[3]{{2}^{6}}.$

Với x > 0 và y > 0, ta có:

$N=\frac{{x}^{\frac{4}{3}}y+x{y}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=\frac{\sqrt[3]{{x}^{4}}y+x\sqrt[3]{{y}^{4}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\ =\frac{\sqrt[3]{{x}^{3}}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot y+x\cdot \sqrt[3]{{y}^{3}}\cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\ =\frac{\sqrt[3]{{x}^{3}}\cdot x\cdot y+x\cdot y\cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\ =\frac{xy(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=xy.$

Từ Bảng 1 ta thấy:

⦁ r$_{1}$ = 1 thì ${3}^{{r}_{1}}=3;$

⦁ r$_{2}$ = 1,4 thì ${3}^{{r}_{2}}=4{,}655536722...\approx 4{,}66;$

...

⦁ r$_{6}$ = 1,41421 thì ${3}^{{r}_{6}}=4{,}728785881...\approx 4{,}73;$

…

Dự đoán: ${3}^{\sqrt{2}}\approx 4{,}73.$

Tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương:

⦁ a$^{m}$ . a$^{n}$ = a$^{m+n}$;

⦁ $\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n};$

⦁ ${({a}^{m})}^{n}={a}^{m\cdot n};$

⦁ (a . b)$^{m}$ = a$^{m}$ . b$^{m}$;

⦁ ${(\frac{a}{b})}^{m}=\frac{{a}^{m}}{{b}^{m}};$

⦁ Với a > 1 thì a$^{m}$ > a$^{n}$ ⇔ m > n;

⦁ Với 0 < a < 1 thì a$^{m}$ > a$^{n}$ ⇔ m < n.

Ta có: ${(2\sqrt{3})}^{2}=12;\ {(3\sqrt{2})}^{2}=18$

Vì 12 < 18, nên $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$

Do cơ số 2 lớn hơn 1 nên ${2}^{2\sqrt{3}}<{2}^{3\sqrt{2}}.$

a) ${(-2{,}7)}^{-4}\approx 0{,}02;$

b) ${(\sqrt{3}-1)}^{\sqrt[3]{4}+1}\approx 0{,}45.$

${(\frac{1}{256})}^{-0{,}75}+{(\frac{1}{27})}^{-\frac{4}{3}}={(\frac{1}{256})}^{-\frac{3}{4}}+{(\frac{1}{27})}^{-\frac{4}{3}}$

$={256}^{\frac{3}{4}}+{27}^{\frac{4}{3}}=\sqrt[4]{{256}^{3}}+\sqrt[3]{{27}^{4}}\ =\sqrt[4]{{({2}^{8})}^{3}}+\sqrt[3]{{({3}^{3})}^{4}}=\sqrt[4]{{2}^{24}}+\sqrt[3]{{3}^{12}}\ =\sqrt[4]{{({2}^{6})}^{4}}+\sqrt[3]{{({3}^{4})}^{3}}={2}^{6}+{3}^{4}=64+81=145.$

${(\frac{1}{49})}^{-1{,}5}-{(\frac{1}{256})}^{-\frac{2}{3}}={(\frac{1}{49})}^{-\frac{3}{2}}-{(\frac{1}{256})}^{-\frac{2}{3}}$

$={49}^{\frac{3}{2}}-{256}^{\frac{2}{3}}=\sqrt{{49}^{3}}-\sqrt[3]{{256}^{2}}\ =\sqrt{{({7}^{2})}^{3}}-\sqrt[3]{{({2}^{8})}^{2}}=\sqrt{{7}^{6}}-\sqrt[3]{{2}^{16}}\ =\sqrt{{({7}^{3})}^{2}}-\sqrt[3]{2\cdot {2}^{15}}={7}^{3}-\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{{({2}^{5})}^{3}}$

$({4}^{3+\sqrt{3}}-{4}^{\sqrt{3}-1})\cdot {2}^{-2\sqrt{3}}=[{({2}^{2})}^{3+\sqrt{3}}-{({2}^{2})}^{\sqrt{3}-1}]\cdot {2}^{-2\sqrt{3}}$

$=({2}^{6+2\sqrt{3}}-{2}^{2\sqrt{3}-2})\cdot {2}^{-2\sqrt{3}}={2}^{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}-{2}^{2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}}\ ={2}^{6}-{2}^{-2}=64-\frac{1}{{2}^{2}}=64-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}.$

a) ${a}^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}={a}^{\frac{1}{3}}.{a}^{\frac{1}{2}}={a}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}={a}^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{{a}^{5}};$

b) ${b}^{\frac{1}{2}}\cdot {b}^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}={b}^{\frac{1}{2}}\cdot {b}^{\frac{1}{3}}\cdot {b}^{\frac{1}{6}}={b}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}={b}^{1};$

c) ${a}^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}={a}^{\frac{4}{3}}:{a}^{\frac{1}{3}}={a}^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}={a}^{1};$

d) $\sqrt[3]{b}:{b}^{\frac{1}{6}}={b}^{\frac{1}{3}}:{b}^{\frac{1}{6}}={b}^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}={b}^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{b}.$

Ta có: ${1}^{1{,}5}={1}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{1}^{3}}=1;\ {3}^{-1}=\frac{1}{3};\ {(\frac{1}{2})}^{-2}={2}^{2}=4$

Vì $\frac{1}{3}<1<4$ nên ${3}^{-1}<{1}^{1{,}5}<{(\frac{1}{2})}^{-2}.$

Ta có: ${2022}^{0}=1;\ {(\frac{4}{5})}^{-1}=\frac{5}{4};\ {5}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$

Vì $1<\frac{5}{4}<2<\sqrt{5}$ nên ${2022}^{0}<{(\frac{4}{5})}^{-1}<{5}^{\frac{1}{2}}.$

a) Ta có 3 < 4 nên $\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$

Vì cơ số 6 lớn hơn 1 nên ${6}^{\sqrt{3}}<{6}^{2},$ do đó ${6}^{\sqrt{3}}<36.$

b) Ta có: 3 < 5 nên $\sqrt{3}<\sqrt{5}$

Vì cơ số 0,2 thỏa mãn 0 < 0,2 < 1 nên ${(0{,}2)}^{\sqrt{3}}>{(0{,}2)}^{\sqrt{5}}.$