Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn có đáp án

Do DE tiếp xúc với (O) tại A, suy ra OA ⊥ DE tại A hay $\widehat {DAO} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {BAO} + \widehat {BAD} = 90^\circ$

Nên $\widehat {BAO} = 90^\circ - \widehat {BAD} = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$ hay $\widehat {BAC} = 12^\circ .$

Xét ∆ABC có BO là đường trung tuyến và $BO = \frac{1}{2}AC$ nên ∆ABC vuông tại B.

Suy ra: $\widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°)

Do đó $\widehat {BCA} = 90^\circ - \widehat {BAC} = 90^\circ - 12^\circ = 78^\circ .$

Do PB và PA là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại B và A

Suy ra OB ⊥ BP; OA ⊥ AP

Nên ∆OBP vuông tại B; ∆OAP vuông tại A.

Xét ∆OPB vuông tại B, ta có OP$^{2}$ = OB$^{2}$ + PB$^{2}$ (định lí Pythagore)

Hay (OQ + QP)$^{2}$ = OB$^{2}$ + PB$^{2}$

Suy ra (R + 4)$^{2}$ = R$^{2}$ + 8$^{2}$

R$^{2}$ + 8R + 16 = R$^{2}$ + 64

8R = 48

R = 6.

Do đó OP = OQ + QP = 6 + 4 = 10.

Như vậy, $\sin \widehat {BOP} = \frac{{PB}}{{OP}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5},$ suy ra $\widehat {BOP} \approx 53^\circ .$

Theo bài, hai tiếp tuyến AP và BP của đường tròn (O; R) cắt nhau tại P nên OP là tia phân giác của góc AOB.

Khi đó, $\widehat {AOB} = 2\widehat {BOP} \approx 2 \cdot 53^\circ = 106^\circ .$

a) Vì 13 > 5 hay d > r nên a và (O; r) không giao nhau.

b) Vì 8 = 8 hay d = r nên a tiếp xúc với (O; r).

c) Vì 3 < 9 hay d < r nên a cắt (O; r) tại hai điểm.

Ta có Ox và Oy tiếp xúc với (I; R) lần lượt tại A và B

Suy ra IA ⊥ Ox tại A, IB ⊥ Oy tại B và IA = IB = R.

Tứ giác OAIB có ba góc vuông $\left( {\widehat {AOB} = \widehat {OAI} = \widehat {OBI} = 90^\circ } \right)$ và có hai cạnh kề bằng nhau (IA = IB) nên OAIB là hình vuông. Do đó IA = IB = OA = OB = R.

Khi đó, chu vi của hình vuông OAIB là 4R.

Theo bài, chu vi của tứ giác OAIB bằng 20 cm nên 4R = 20, suy ra R = 5 cm.

Xét ∆IAB vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ = IA$^{2}$ + IB$^{2}$ = 2R$^{2}$ = 2.5$^{2}$ = 50.

Suy ra $AB = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \;({\rm{cm}}).$

a) Ta có hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên AO là tia phân giác của $\widehat {BAC},$ suy ra $\widehat {OAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ .$

Xét ∆OAC vuông tại C có $\widehat {AOC} + \widehat {OAC} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {AOC} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$ hay $\widehat {DOC} = 70^\circ .$

Xét ∆ODC cân tại O (do OC = OD), có $\widehat {ODC} = \frac{{180^\circ - \widehat {COD}}}{2} = \frac{{180^\circ - 70^\circ }}{2} = 55^\circ .$

b) Ta có hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên AC = AB.

Xét ∆OAC vuông tại C ta có:

⦁ $AC = OC \cdot \tan \widehat {AOC} = 12 \cdot \tan 70^\circ \approx 33\;(\;{\rm{cm}}).$

Do đó AC = AB ≈ 33 cm.

⦁ $OC = OA \cdot \sin \widehat {OAC}$

Suy ra $OA = \frac{{OC}}{{\sin \widehat {OAC}}} = \frac{{12}}{{\sin 20^\circ }} \approx 35\;(\;{\rm{cm}}).$