Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là: C = 2πR.

⦁ Độ dài của cung tròn có số đo n° trong đường tròn bán kính R là: $l=\frac{πRn}{180},$ suy ra $n=\frac{180l}{πR}.$

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là: S = πR$^{2}$, suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{π}}.$

⦁ Diện tích của hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là $S=\frac{π{R}^{2}n}{360}=\frac{lR}{2},$ suy ra $n=\frac{360S}{π{R}^{2}}$ và $l=\frac{2S}{R}.$

Áp dụng các công thức trên, ta hoàn thành được bảng như sau:

a) Quãng đường Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất chính là chu vi của đường tròn bán kính khoảng 385 nghìn km, và bằng: 2π . 385 000 = 770 000π (km).

Quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày khoảng: $\frac{770\ 000π}{27{,}3}\approx 89\ 000\ (\text{km}).$

b) Mặt Trăng đi được quãng đường khoảng 770 000π km sau 27,3 ngày nên ta có tốc độ của Mặt Trăng khoảng:$\frac{770\ 000π\cdot 1000}{27{,}3\cdot 24\cdot 60\cdot 60}\approx 1\ 026\ (\text{m}/\text{s}).$

Do ABCD là hình thoi nên $\widehat{A}=\widehat{C}.$ Đặt $\widehat{A}=\widehat{C}=n^{\circ}.$

Độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) là:${l}_{1}=\frac{π\cdot 5\cdot n}{180}\ (\text{cm}).$

Độ dài của cung nhỏ EF của đường tròn (C) là: ${l}_{2}=\frac{π\cdot 3\cdot n}{180}\ (\text{cm}).$

Vậy tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C) là $\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}=\frac{π\cdot 5\cdot n}{180}:\frac{π\cdot 3\cdot n}{180}=\frac{5}{3}.$

a) Ta có O, O’ lần lượt là trung điểm của AB, AE, mà AB = AE nên AO = AO’ = a.

Mà M là giao điểm của (O) và (O’) nên OM = OA và O’M = O’A.

Do đó OA = OM = O’A = O’M = a, nên AOMO’ là hình thoi

Lại có $\widehat{OA{O}^{'}}=90^{\circ}$ nên AOMO’ là hình vuông. Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{A{O}^{'}M}=90^{\circ}.$

Do đó, độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) cùng bằng $\frac{πa\cdot 90}{180}=\frac{πa}{2}.$

b)

Nối A với M. Khi đó diện tích của phần tô màu xám bằng 2 lần diện tích phần tô màu đỏ tạo bởi dây AM và cung AmM của đường tròn (O), và bằng 2 lần hiệu diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° và diện tích tam giác OAM.

Diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° là:

$\frac{π{a}^{2}\cdot 90}{360}=\frac{π{a}^{2}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác OAM là: $\frac{1}{2}OA\cdot OM=\frac{{a}^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của phần tô màu đỏ là: $\frac{π{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{(π-2){a}^{2}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích của phần tô màu xám là:

$2\cdot \frac{(π-2){a}^{2}}{4}=\frac{(π-2){a}^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA$^{2}$ = OM$^{2}$ + AM$^{2}$

Suy ra $AM=\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$ và $cos\widehat{AOM}=\frac{OM}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

Do đó $AM=\sqrt{{(2R)}^{2}-{R}^{2}}=\sqrt{3{R}^{2}}=R\sqrt{3}$ và $\widehat{AOM}=60^{\circ}.$

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $AM=BM=\frac{AB}{2}$ và $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=\frac{\widehat{AOB}}{2}.$

Nên $AB=2AM=2R\sqrt{3}$ và $\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra $\widehat{MON}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Ta có:

⦁ S$_{1}$ = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra ${S}_{1}=\frac{π{(2R)}^{2}\cdot 120}{360}-\frac{1}{2}\cdot R\cdot 2R\sqrt{3}={R}^{2}(\frac{4π}{3}-\sqrt{3});$

⦁ S$_{2}$ = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra ${S}_{2}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}-\frac{πR\cdot 120}{360}={R}^{2}(\sqrt{3}-\frac{π}{3});$

⦁ S$_{3}$ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR$^{2}$.

Khi đó ${S}_{1}+\ {S}_{2}={R}^{2}(\frac{4π}{3}-\sqrt{3})+{R}^{2}(\sqrt{3}-\frac{π}{3})$

$\ ={R}^{2}(\frac{4π}{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{π}{3})=π{R}^{2}={S}_{3}.$

Vậy S$_{1}$ + S$_{2}$ = S$_{3}$.