Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là: C = 2πR.

⦁ Độ dài của cung tròn có số đo n° trong đường tròn bán kính R là: $l=\frac{πRn}{180},$ suy ra $n=\frac{180l}{πR}.$

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là: S = πR$^{2}$, suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{π}}.$

⦁ Diện tích của hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là $S=\frac{π{R}^{2}n}{360}=\frac{lR}{2},$ suy ra $n=\frac{360S}{π{R}^{2}}$ và $l=\frac{2S}{R}.$

Áp dụng các công thức trên, ta hoàn thành được bảng như sau:

a) Quãng đường Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất chính là chu vi của đường tròn bán kính khoảng 385 nghìn km, và bằng: 2π . 385 000 = 770 000π (km).

Quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày khoảng: $\frac{770\ 000π}{27{,}3}\approx 89\ 000\ (\text{km}).$

b) Mặt Trăng đi được quãng đường khoảng 770 000π km sau 27,3 ngày nên ta có tốc độ của Mặt Trăng khoảng:$\frac{770\ 000π\cdot 1000}{27{,}3\cdot 24\cdot 60\cdot 60}\approx 1\ 026\ (\text{m}/\text{s}).$

Do ABCD là hình thoi nên $\widehat{A}=\widehat{C}.$ Đặt $\widehat{A}=\widehat{C}=n^{\circ}.$

Độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) là:${l}_{1}=\frac{π\cdot 5\cdot n}{180}\ (\text{cm}).$

Độ dài của cung nhỏ EF của đường tròn (C) là: ${l}_{2}=\frac{π\cdot 3\cdot n}{180}\ (\text{cm}).$

Vậy tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C) là $\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}=\frac{π\cdot 5\cdot n}{180}:\frac{π\cdot 3\cdot n}{180}=\frac{5}{3}.$

a) Ta có O, O’ lần lượt là trung điểm của AB, AE, mà AB = AE nên AO = AO’ = a.

Mà M là giao điểm của (O) và (O’) nên OM = OA và O’M = O’A.

Do đó OA = OM = O’A = O’M = a, nên AOMO’ là hình thoi

Lại có $\widehat{OA{O}^{'}}=90^{\circ}$ nên AOMO’ là hình vuông. Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{A{O}^{'}M}=90^{\circ}.$

Do đó, độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) cùng bằng $\frac{πa\cdot 90}{180}=\frac{πa}{2}.$

b)

Nối A với M. Khi đó diện tích của phần tô màu xám bằng 2 lần diện tích phần tô màu đỏ tạo bởi dây AM và cung AmM của đường tròn (O), và bằng 2 lần hiệu diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° và diện tích tam giác OAM.

Diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° là:

$\frac{π{a}^{2}\cdot 90}{360}=\frac{π{a}^{2}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác OAM là: $\frac{1}{2}OA\cdot OM=\frac{{a}^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của phần tô màu đỏ là: $\frac{π{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{(π-2){a}^{2}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích của phần tô màu xám là:

$2\cdot \frac{(π-2){a}^{2}}{4}=\frac{(π-2){a}^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA$^{2}$ = OM$^{2}$ + AM$^{2}$

Suy ra $AM=\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$ và $cos\widehat{AOM}=\frac{OM}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

Do đó $AM=\sqrt{{(2R)}^{2}-{R}^{2}}=\sqrt{3{R}^{2}}=R\sqrt{3}$ và $\widehat{AOM}=60^{\circ}.$

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $AM=BM=\frac{AB}{2}$ và $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=\frac{\widehat{AOB}}{2}.$

Nên $AB=2AM=2R\sqrt{3}$ và $\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra $\widehat{MON}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Ta có:

⦁ S$_{1}$ = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra ${S}_{1}=\frac{π{(2R)}^{2}\cdot 120}{360}-\frac{1}{2}\cdot R\cdot 2R\sqrt{3}={R}^{2}(\frac{4π}{3}-\sqrt{3});$

⦁ S$_{2}$ = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra ${S}_{2}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}-\frac{πR\cdot 120}{360}={R}^{2}(\sqrt{3}-\frac{π}{3});$

⦁ S$_{3}$ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR$^{2}$.

Khi đó ${S}_{1}+\ {S}_{2}={R}^{2}(\frac{4π}{3}-\sqrt{3})+{R}^{2}(\sqrt{3}-\frac{π}{3})$

$\ ={R}^{2}(\frac{4π}{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{π}{3})=π{R}^{2}={S}_{3}.$

Vậy S$_{1}$ + S$_{2}$ = S$_{3}$.

Xét tứ giác ANO’Q có: $\widehat{AN{O}^{'}}+\widehat{AQ{O}^{'}}+\widehat{N{O}^{'}Q}+\widehat{NAQ}=360^{\circ}$

Suy ra $\widehat{N{O}^{'}Q}=360^{\circ}-\widehat{AN{O}^{'}}-\widehat{AQ{O}^{'}}-\widehat{NAQ}=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.$

Tương tự, trong tứ giác AMOP ta cũng có $\widehat{MOP}=120^{\circ}.$

Khi đó số đo của cung nhỏ NQ trong (O’) bằng 120° và số đo của cung lớn MP trong (O) bằng 360° – 120° = 240°.

Độ dài cung nhỏ NQ là: ${l}_{1}=\frac{πa\cdot 120}{180}=\frac{2πa}{3}.$

Độ dài cung lớn MP là: ${l}_{2}=\frac{π\cdot 4a\cdot 240}{180}=\frac{16πa}{3}.$

Do AM, AP là hai tiếp tuyến của (O) nên AM = AP và AO là tia phân giác của MAP.

Nên $\widehat{OAM}=\frac{1}{2}\widehat{MAP}=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ}=30^{\circ}.$

Xét ∆OAM vuông tại M có $AM=OM\cdot \cot \widehat{OAM}.$

Do AN, AQ là hai tiếp tuyến của (O’) nên AN = AQ và AO’ là tia phân giác của MAP.

Khi đó AO và AO’ trùng nhau.

Xét ∆O’AN vuông tại N có $AN={O}^{'}N\cdot \cot \widehat{{O}^{'}AN}={O}^{'}N\cdot \cot \widehat{OAM}.$

Ta có: $MN=PQ=AM-AN=OM\cdot \cot \widehat{OAM}-{O}^{'}N\cdot \cot \widehat{OAM}$

$=(OM-{O}^{'}N)\cdot \cot \widehat{OAM}=(4a-a)\cdot \cot 30^{\circ}=3a\sqrt{3}.$

Độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc là:

$\frac{2πa}{3}+\frac{16πa}{3}+2\cdot 3a\sqrt{3}=6a(π+\sqrt{3}).$

Ta có $OP=OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{(cm})$ và ${O}^{'}P={O}^{'}Q=\frac{CD}{2}$

Mà AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OP = OQ = O’P = O’Q = 5 cm.

Do đó POQO’ là hình thoi.

Mặt khác, đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB tại O nên $\widehat{POQ}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{POQ}=90^{\circ}.$

Suy ra hình thoi POQO’ là hình vuông.

Diện tích hình quạt tròn POQ là: ${S}_{1}=\frac{π\cdot {5}^{2}\cdot 90}{360}=\frac{25π}{4}\ ({\text{cm}}^{2}).$

Diện tích tam giác OPQ là:

${S}_{2}=\frac{1}{2}\cdot$Diện tích hình vuông POQO’ = $\frac{1}{2}\cdot {5}^{2}=\frac{25}{2}$ (cm$^{2}$).

Diện tích phần hình tạo bởi cung nhỏ PQ của đường tròn (O) và dây PQ là: ${S}_{3}={S}_{1}-{S}_{2}=\frac{25}{4}(π-2)\ ({\text{cm}}^{2}).$

Diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O) và (O’) là: $S=2{S}_{3}=\frac{25}{2}(π-2)\ ({\text{cm}}^{2}).$

Diện tích mặt bàn là: 1,8.1,2 + π.0,6$^{2}$ = 2,16 + 0,36π (cm$^{2}$).

Số tiền bác Long phải trả để làm được mặt bàn đó là:

100 000.(2,16 + 0,36π) ≈ 329 000 (đồng).

Diện tích mặt cắt của hai phần chi tiết có dạng hình chữ nhật là:

2 . (15 . 5) = 150 (cm$^{2}$)

Diện tích của phần chi tiết có dạng nửa hình vành khuyên là: $\frac{1}{2}π\cdot ({15}^{2}-{10}^{2})=\frac{125}{2}π{\text{(cm}}^{2}).$

Diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó là: $150+\frac{125}{2}π\approx 346{,}35({\text{cm}}^{2}).$

a) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) có OO’ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác

Do OO’ là đường trung tuyến của ∆OAB nên O’ là trung điểm của AB, suy ra AB = 2AO’.

Do OO’ là đường phân giác của ∆OAB nên $\widehat{AOM}=\widehat{BOM},$ suy ra $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}.$

Do O’ là trung điểm của OM nên $O{O}^{'}=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}\cdot 8=4\ (\text{cm}).$

Xét ∆OO’A vuông tại O’, có:

⦁ $\cos \widehat{AO{O}^{'}}=\frac{O{O}^{'}}{OA}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\widehat{AOM}=60^{\circ},$ do đó $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=30^{\circ}.$

⦁$A{O}^{'}=OA\cdot \sin \widehat{AO{O}^{'}}=8\cdot \sin 60^{\circ}=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{(cm}).$

Diện tích tam giác OAB là:${S}_{1}=\frac{1}{2}O{O}^{'}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ ({\text{cm}}^{2}).$

Trong đường tròn (O), có $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=30^{\circ}$ nên diện tích hình quạt tròn AOD và diện tích hình quạt tròn BOC bằng nhau và bằng: ${S}_{2}=\frac{π\cdot {8}^{2}\cdot 30}{360}=\frac{16π}{3}\ ({\text{cm}}^{2}).$

Diện tích phần hình giới hạn bởi dây AB, cung nhỏ AD, đường kính CD và cung nhỏ BC của đường tròn (O) là: ${S}_{3}={S}_{1}+2{S}_{2}=16\sqrt{3}+2\cdot \frac{16π}{3}\approx \ 61\ (c{m}^{2}).$

b) Diện tích của phần tô màu xám bằng hiệu diện tích của hình tròn (O’) và hình tròn (O), và bằng:

π.16$^{2}$ ‒ π.8$^{2}$ =192π ≈ 603 (cm$^{2}$).