Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 16. Đường trung bình của tam giác có đáp án

a) Do MA = MB = 3 nên M là trung điểm của AB;

NA = NC = 4,5 nên N là trung điểm của AC.

Xét ∆ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 10=5$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vậy x = 5.

b) Ta có HI ⊥ PN và MN ⊥ PN nên HI // MN.

Xét ∆MNP có: I là trung điểm của PN (PI = IN = 4) và HI // MN nên H là trung điểm của PM.

Do đó HM = HP = 5

Vậy y = 5.

Xét ∆DEF có: H là trung điểm DE; K là trung điểm DF nên HK là đường trung bình của ∆DEF.

Suy ra $HK=\frac{1}{2}EF$ và HK // EF (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà $EI=\frac{1}{2}EF$ (do I là trung điểm của EF) nên HK = EI.

Xét tứ giác HKIE có HK = EI và HK // EI (do HK // EF) nên tứ giác HKIE là hình bình hành.

Xét ∆ABC có: E là trung điểm AB; D là trung điểm AC nên DE là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra $ED=\frac{1}{2}BC$ và ED // BC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét ∆GBC có: I là trung điểm GB; K là trung điểm GC nên IK là đường trung bình của ∆GBC.

Suy ra $IK=\frac{1}{2}BC$ và IK // BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có: ED // BC và IK // BC nên ED // IK.

$ED=\frac{1}{2}BC$, $IK=\frac{1}{2}BC$ nên ED = IK.

Xét tứ giác EDKI có ED // IK và ED = IK nên tứ giác EDKI là hình bình hành

Suy ra EI = DK.

• Xét ∆ABC có: D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC nên DE là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra $DE=\frac{1}{2}AC$ và DE // AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét ∆ADC có: G, F lần lượt là trung điểm của AD và CD nên GF là đường trung bình của ∆ADC.

Suy ra $GF=\frac{1}{2}AC$ và GF // AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Khi đó ta có $DE=GF=\frac{1}{2}AC$ và DE // GF // AC

Xét tứ giác DEFG có DE = GF và DE // GF nên DEFG là hình bình hành.

• Xét ∆ABD có: G là trung điểm AD; D là trung điểm AB nên GD là đường trung bình của ∆ABD.

Suy ra $DG=\frac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mà ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD

Do đó $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$ hay DE = DG.

Hình bình hành DEFG có DE = DG nên là hình thoi.

Chú ý:Ngoài cách trên, ta có thể chứng minh DEFG là hình thoi bằng cách chứng minh bốn cạnh bằng nhau: $DE=FG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BC=EF=GD.$