Giải SBT Toán 7 KNTT Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác có đáp án

Xét tam giác ABC có BC là cạnh dài nhất và góc đối diện của cạnh BC là $\widehat{A}$ nên theo định lí 1 ta có $\widehat{A}$ là góc lớn nhất thỏa mãn:

$\widehat{A}\ge \widehat{B},\ \widehat{A}\ge \widehat{C}$ .

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{A}+\widehat{A}\ge \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$

Hay $3\widehat{A}\ge \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$

Do đó $\widehat{A}\ge \frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{3}$

Mà tổng ba góc trong một tam giác là 180º.

Nên $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

Từ đó ta có: $\widehat{A}\ge \frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{3}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$

Vậy suy ra số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60º (đpcm).

Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn bé hơn 90º nên suy ra $\widehat{ACB}$ là góc nhọn.

Mà $\widehat{ACE}$ kề bù với $\widehat{ACB}$ nên suy ra $\widehat{ACE}$ là góc tù.

Xét tam giác ACE có là góc tù nên cạnh đối diện với $\widehat{ACE}$ là cạnh AE là cạnh lớn nhất.

Suy ra AE > AC (*)

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Lại có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$

Xét tam giác ABC có: $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{BAC}=180^{\circ}-2\widehat{ABC}$(1)

Xét tam giác ABD có:

Suy ra $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180^{\circ}$ (2)

Mà D nằm giữa B và C nên suy ra $\widehat{BAD}<\widehat{BAC}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $180^{\circ}-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}<180^{\circ}-2\widehat{ABC}$

Hay $\widehat{ABC}+\widehat{ADB}>2\widehat{ABC}$

Do đó $\widehat{ADB}>\widehat{ABC}$

Áp dụng định lí 2 ta được AB > AD

Mà AB = AC (cmt) nên suy ra AC > AD (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra AE > AC > AD (đpcm).

Gọi tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M.

+) Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A nên suy ra $\widehat{A}=90^{\circ}$ (1)

Lại có tam giác ABC có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

Hay $\widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})$

Vậy suy ra $180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})=90^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$

Hay ta suy ra được $0^{\circ}<\widehat{B}<90^{\circ}$ và $0^{\circ}<\widehat{C}<90^{\circ}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{A}>\widehat{B},\ \widehat{A}>\widehat{C}$

Theo định lí 2 ta có BC > AC và BC > AB nên BC là cạnh lớn nhất

Vậy trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất (đpcm).

+) Giả sử tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M nên suy ra $90^{\circ}<\widehat{M}<180^{\circ}$ (3)

Lại có tam giác MNP có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$

Hay $\widehat{M}=180^{\circ}-(\widehat{N}+\widehat{P})$

Suy ra $90^{\circ}<180^{\circ}-(\widehat{N}+\widehat{P})<180^{\circ}$

Do đó $0^{\circ}<\widehat{N}+\widehat{P}<90^{\circ}$

Hay ta suy ra được $0^{\circ}<\widehat{N}<90^{\circ}và0^{\circ}<\widehat{P}<90^{\circ}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\widehat{M}>\widehat{N};\ \widehat{M}>\widehat{P}$

Theo định lí 2 ta có NP > MP và NP > MN nên NP là cạnh lớn nhất.

Vậy trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất (đpcm).

a) Lấy P là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho M là trung điểm của AP.

Xét hai tam giác ∆ AMC và ∆ PMB có:

AM = PM (M là trung điểm của AP)

MC = MB (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{PMB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AMC = ∆PMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MPB}$ (hai góc tương ứng) (1)

Và AC = PB

Mà AB > AC (gt)

Nên suy ra AB > PB

Xét tam giác ABP có AB > PB (cmt) nên theo định lí 1 ta có $\widehat{APB}>\widehat{BAP}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAC}>\widehat{MAB}$ (3).

b) AD là đường phân giác của góc BAC nên ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$ (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra được:

$2\widehat{MAC}>\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}$

Hay $2\widehat{MAC}>\widehat{DAB}+\widehat{DAC}=2\widehat{DAC}$

Suy ra $\widehat{MAC}>\widehat{DAC}$

Do đó MC > DC.

Vậy D là điểm thuộc đoạn thẳng MC.