Giải SBT Toán 7 CD Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Vì BM, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do đó AM = MC, AN = NB.

Mà AB = AC

Suy ra AM = MC = AN = NB.

Xét DABM và DACN có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BAC}$ là góc chung,

AM = AN (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Do ∆AMB = ∆ANC (câu a) suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}$ , $\widehat{ACB}=\widehat{ACN}+\widehat{NCB}$ .

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ .

Nên $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ hay $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$

Suy ra tam giác GBC cân tại G.

Vậy tam giác GBC cân tại G

c) Ta có AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Theo câu b tam giác GBC cân tại G nên GB = GC (hai cạnh bên).

Do đó G nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AG vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Vậy AG vuông góc với BC.

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM = $\frac{1}{2}$ GA.

Mà MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD và GM = $\frac{1}{2}$ GD.

Suy ra GD = GA.

Do đó CG là trung tuyến của tam giác ACD.

Vậy CG là trung tuyến của tam giác ACD.

b) Xét $\Delta$BGM và $\Delta$CDM có:

GM = DM (giả thiết),

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$(hai góc đối đỉnh),

MB = MC (vì M là trung điểm của BC)

Nên $\Delta$BGM = $\Delta$CDM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BGM}=\widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng).

Mà chúng ở vị trí so le trong nên BG // CD.

Vậy BG // CD.