Giải SBT Toán 12 Bài 17. Phương trình mặt cầu

a) Gọi I(x; y; z) là trung điểm của AB, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\z = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.$⇒ I(2; 1; 2).

Mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 1; 2) và bán kính R = IA.

IA = $\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}$ = 1.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x – 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 1$^{2}$.

⇔ (x – 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$= 1.

b) Mặt cầu (S) tâm O và đi qua A có bán kính R = OA.

OA = $\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}$= $\sqrt 6$.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 0)$^{2}$ + (y – 0)$^{2}$ + (z – 0)$^{2}$ = ${\left( {\sqrt 6 } \right)^2}$.

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 6.

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên R = d(I, (P)).

Ta có: R = d(I, (P)) = $\frac{{\left| {2 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}$ = 2.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 2$^{2}$.

⇔ (x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 4.

a) Ta có (S): (x – 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 9

⇔ (x – 1)$^{2}$ + (y – 0)$^{2}$ + (z – (−2))$^{2}$ = 3$^{2}$.

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = 3.

b) Ta có: IA = $\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}$ = $\sqrt 6$ < 3.

Do đó, điểm A nằm trong mặt cầu (S).

a) Phương trình có các hệ số a = −1, b = 0, c = 2 và d = 2.

⇒ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = (−1)$^{2}$ + 0$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2 = 3 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là

I(−1; 0; 2) và bán kính R = $\sqrt 3$.

b) Phương trình có các hệ số a = 1, b = −1, c = −1 và d = 7.

⇒ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = 1$^{2}$ + (−1)$^{2}$ + (−1)$^{2}$ – 7 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 3x$^{2}$ + 3y$^{2}$ + 3z$^{2}$ + 12x – 6y + 6z + 2 = 0.

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 4x – 2y + 2z + $\frac{2}{3}$ = 0.

Phương trình có các hệ số: a = −2, b =1, c = −1 và d = $\frac{2}{3}$.

⇒ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = (−2)$^{2}$ + 1$^{2}$ + (−1)$^{2}$ − $\frac{2}{3}$ = $\frac{{16}}{3}$ > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; −1) và R = $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Theo đề bài, tâm I thuộc trục Ox nên I(x; 0; 0).

(S) đi qua hai điểm A và B nên IA = IB.

⇒ (x – 1)$^{2}$ + (0 – 2)$^{2}$ + (0 – 1)$^{2}$ = (x + 1)$^{2}$ + (0 + 2)$^{2}$ + (0 – 3)$^{2}$

⇒ x$^{2}$ – 2x + 6 = x$^{2}$ + 2x + 14

⇔ x = −2.

Do đó, tâm I(−2; 0; 0) và bán kính IA = $\sqrt {14}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 2)$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 14.