TopStudy

Đáp án và lời giải

Giải SBT Toán 12 Bài 17. Phương trình mặt cầu

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Gọi I(x; y; z) là trung điểm của AB, ta có:

{x=2+22=2y=1+12=1z=1+32=2\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\z = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.⇒ I(2; 1; 2).

Mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 1; 2) và bán kính R = IA.

IA = (2−2)2+(1−1)2+(2−1)2\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = 1.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x – 2)2^{2} + (y – 1)2^{2} + (z – 2)2^{2} = 12^{2}.

⇔ (x – 2)2^{2} + (y – 1)2^{2} + (z – 2)2^{2}= 1.

b) Mặt cầu (S) tâm O và đi qua A có bán kính R = OA.

OA = (2−0)2+(1−0)2+(1−0)2\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}= 6\sqrt 6.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 0)2^{2} + (y – 0)2^{2} + (z – 0)2^{2} = (6)2{\left( {\sqrt 6 } \right)^2}.

⇔ x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} = 6.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên R = d(I, (P)).

Ta có: R = d(I, (P)) = ∣2+2.(−1)+2.2−10∣12+22+22\frac{{\left| {2 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 2)2^{2} + (y + 1)2^{2} + (z – 2)2^{2} = 22^{2}.

⇔ (x – 2)2^{2} + (y + 1)2^{2} + (z – 2)2^{2} = 4.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có (S): (x – 1)2^{2} + y2^{2} + (z + 2)2^{2} = 9

⇔ (x – 1)2^{2} + (y – 0)2^{2} + (z – (−2))2^{2} = 32^{2}.

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = 3.

b) Ta có: IA = (2−1)2+(2−0)2+(−1+2)2\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}} = 6\sqrt 6 < 3.

Do đó, điểm A nằm trong mặt cầu (S).

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Phương trình có các hệ số a = −1, b = 0, c = 2 và d = 2.

⇒ a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d = (−1)2^{2} + 02^{2} + 22^{2} – 2 = 3 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là

I(−1; 0; 2) và bán kính R = 3\sqrt 3.

b) Phương trình có các hệ số a = 1, b = −1, c = −1 và d = 7.

⇒ a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d = 12^{2} + (−1)2^{2} + (−1)2^{2} – 7 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 3x2^{2} + 3y2^{2} + 3z2^{2} + 12x – 6y + 6z + 2 = 0.

⇔ x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} + 4x – 2y + 2z + 23\frac{2}{3} = 0.

Phương trình có các hệ số: a = −2, b =1, c = −1 và d = 23\frac{2}{3}.

⇒ a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d = (−2)2^{2} + 12^{2} + (−1)2^{2} − 23\frac{2}{3} = 163\frac{{16}}{3} > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; −1) và R = 433\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Theo đề bài, tâm I thuộc trục Ox nên I(x; 0; 0).

(S) đi qua hai điểm A và B nên IA = IB.

⇒ (x – 1)2^{2} + (0 – 2)2^{2} + (0 – 1)2^{2} = (x + 1)2^{2} + (0 + 2)2^{2} + (0 – 3)2^{2}

⇒ x2^{2} – 2x + 6 = x2^{2} + 2x + 14

⇔ x = −2.

Do đó, tâm I(−2; 0; 0) và bán kính IA = 14\sqrt {14}.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 2)2^{2} + y2^{2} + z2^{2} = 14.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đường hầm thuộc đường thẳng d đi qua A(12;12;12)\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) và nhận v→\overrightarrow v = (2; 2; −3) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: {x=12+2ty=12+2tz=12−3t\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} + 2t\\y = \frac{1}{2} + 2t\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t\end{array} \right..

Gọi B là điểm cuối cùng của đường hầm cần đào.

Khi đó, B là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S). Tọa độ B có dạng

B(12+2t;12+2t;12−3t)\left( {\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right) (với t ≠ 0 để B khác A) và thỏa mãn phương trình mặt cầu (S), tức là: (12+2t)2+(12+2t)2+(12−3t)2=1{\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)^2} = 1

⇔ 17t2^{2} + (2 −32\sqrt 2)t = 0 ⇒ t = 32−217\frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{17}}.

Suy ra AB = (2t)2+(2t)2+(−3t)2=∣t∣17=32−217\sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 3t} \right)}^2}} = \left| t \right|\sqrt {17} = \frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{\sqrt {17} }}.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Tâm của mặt cầu là I(0; 0; 10).

Phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng là: (S): x2^{2} + y2^{2} + (z – 10)2^{2} = 4.