Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án

a) Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà AB $\perp$ BC (do tam giác ABC vuông tại B). Do đó BC $\perp$ (SAB).

b) Vì BC $\perp$ (SAB) nên BC $\perp$ AM, mà AM $\perp$ SB (giả thiết). Do đó AM $\perp$ (SBC).

c) Vì AM $\perp$ (SBC) nên AM $\perp$ SC, mà AN $\perp$ SC (giả thiết). Do đó SC ^ (AMN).

a) Vì OA $\perp$ OB, OA $\perp$ OC nên OA $\perp$ (OBC). Suy ra OA $\perp$BC.

Mà OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ BC. Do đó BC $\perp$ (OAH).

b) Vì BC $\perp$ (OAH) nên BC $\perp$ AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)

Có OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ AC.

Có OB $\perp$ OA, OC $\perp$ OB nên OB $\perp$ (OAC) nên OB $\perp$ AC mà OH $\perp$ AC, từ đó suy ra AC $\perp$ (OBH), suy ra CA ^ BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.

Vì OA ^ (OBC) nên OA ^ OK .

Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên $\frac{1}{O{H}^{2}}=\frac{1}{O{A}^{2}}+\frac{1}{O{K}^{2}}$.

Vì AK ^ BC mà OA ^ BC nên BC ^ (OAK), suy ra OK ^ BC.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên $\frac{1}{O{K}^{2}}=\frac{1}{O{B}^{2}}+\frac{1}{O{C}^{2}}$.

Do đó $\frac{1}{O{H}^{2}}=\frac{1}{O{A}^{2}}+\frac{1}{O{B}^{2}}+\frac{1}{O{C}^{2}}$.

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC và AM là trung tuyến nên AM là đường cao.

Do đó AM $\perp$ BC. (1)

Xét tam giác BCD có DC = DB và DM là trung tuyến nên DM là đường cao.

Do đó DM $\perp$ BC. (2)

Từ (1) và (2) có: BC $\perp$ (ADM). Suy ra BC $\perp$ AD.