Giải SBT Toán 11 CTST Bài 3. Các công thức lượng giác có đáp án

Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \frac{19π}{24}\cos \frac{37π}{24};$

b) $\cos \frac{41π}{12}-\cos \frac{13π}{12};$

c) $\frac{\tan \frac{π}{7}+\tan \frac{3π}{28}}{1+\tan \frac{6π}{7}\tan \frac{3π}{28}};$

Cho $\cos α=\frac{11}{61}$ và $-\frac{π}{2}<α<0,$ tính giá trị của cac biểu thức sau:

a) $\sin (\frac{π}{6}-α);$

b) $\cot (α+\frac{π}{4});$

c) $\cos (2α+\frac{π}{3});$

d) $\tan (\frac{3π}{4}-2α)$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos5x ‒ cosxsin5x;

b) $\frac{\sin 3x\cos 2x+\sin x\cos 6x}{\sin 4x};$

c) $\frac{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}{s\text{inx}-\sin 2x+\sin 3x};$

d) $\frac{2\sin (x+y)}{\cos (x+y)+\cos (x-y)}-\tan y.$

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4\cos x\cos (\frac{π}{3}-x)\cos (\frac{π}{3}+x)=\cos 3x;$

b) $\frac{\sin 2x\cos x}{(1+\cos x)(1+\cos 2x)}=\tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{{\sin }^{2}3x}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}3x}{{\text{cos}}^{2}x}=8\cos 2x.$

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) ${\sin }^{2}x+\cos (\frac{π}{3}+x)\cos (\frac{π}{3}+x);$

b) $\cos (x-\frac{π}{3})\cos (x+\frac{π}{4})+\cos (x+\frac{π}{6})\cos (x+\frac{3π}{4}).$

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b) $\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=\cos \frac{A}{2}.$

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin6°cos12°cos24°cos48°;

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

${x}_{1}(t)=3\cos (\frac{π}{4}t+\frac{π}{3})$ (cm) và ${x}_{2}(t)=3\cos (\frac{π}{4}t-\frac{π}{6})$ (cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp x(t) = x$_{1}$(t) + x$_{2}$(t).

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=-\frac{2}{\sin 3x};$

b) $y=\tan (\frac{x}{2}-\frac{π}{6});$

c) $y=\cot (2x-\frac{π}{4});$

d) $y=\frac{1}{3-{\cos }^{2}x}.$

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sin 3x}{x};$

b) $y=-5{x}^{2}+c\text{os}\frac{x}{2};$

c) $y=x\sqrt{1+\cos 2x};$

d) $y=\cot x-\frac{2}{s\text{inx}};$

e) $y=|x|+\tan x;$

g) $y=\tan (x+\frac{π}{4}).$

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=5-2\cos (\frac{π}{3}-x);$

b) $y=|\sin 3x|-1;$

c) y = 2tanx + 3;

d) $y=\sqrt{1-s\text{inx}}+2.$

Cho hàm số y = sinx với x ∈ [‒2π; 2π]

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x\in [-\frac{5π}{3};\frac{7π}{3}]$ sao cho $\sin (\frac{π}{3}-x)=-1.$

c) Tìm các giá trị của $x\in [-\frac{9π}{8};\frac{7π}{8}]$ sao cho $\sin (2x+\frac{π}{4})>0.$

d) Tìm m để có 4 giá trị α ∈ [‒2π; 2π] phân biệt thỏa mãn sinα = m.

Cho hàm số y = tanx với $x\in (-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2})\cup (-\frac{π}{2};\frac{π}{2}).$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x\in [-\frac{7π}{4};\frac{π}{4}]$ sao cho $\sqrt{3}\tan (x+\frac{π}{4})+1=0.$

c) Tìm các giá trị của $x\in [-\frac{5π}{6};\frac{π}{6}]$ sao cho $\tan (2x+\frac{π}{6})\ge -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn.

a) $y=s\text{inx}-3\tan \frac{x}{2};$

b) y = (cos2x ‒ 1)sinx.

Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thế. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức: p(t) = 120 + 15cos150πt, trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimets thủy ngân) và thời gian t tính theo đơn vị phút.

a) Chứng minh p(t) là một phần hàm số tuần hoàn.

b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương.