Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Giới hạn của hàm số có đáp án

Đáp án đúng là: D

Với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$ (L, M ∈ ℝ) thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$ (nếu M ≠ 0).

Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x$_{0}$; b), nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{0}$ < x$_{n}$ < b và x$_{n}$ → x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L$.

Đáp án đúng là: A

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$.

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ thì L ≥ 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L$.

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ > a và x$_{n}$→ +∞, ta có f(x$_{n}$) → L thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$.

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$. Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì, thỏa mãn limx$_{n}$ = – 2.

Ta có limf(x$_{n}$) = $\lim x_n^3 = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}$.

Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì, thỏa mãn x$_{n}$ ≠ – 2 và lim x$_{n}$ = – 2.

Ta có $\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 2} \right)\left( {{x_n} + 2} \right)}}{{{x_n} + 2}} = \lim \left( {{x_n} - 2} \right) = - 4$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = - \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = + \infty$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 5x + 4} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 4 =$${3.2^2} + 5.2 + 4 = 26$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4}$$= \sqrt {26}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 3 + \frac{4}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 3} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{x} = - 3 + 0 = - 3$

và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^2} + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = + \infty$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}} = 0$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3} \right) = - 3 < 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0$ và x – 2 > 0 với mọi x > 2.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3}}{{x - 2}} = - \infty$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 5 = 5 > 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 0$ và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{5}{{x + 2}} = + \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{1} = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( { - x} \right).\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{ - \sqrt 9 }}{1} = - 3$.

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - 4} \right] \ne 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = - \infty$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = + \infty$.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2$.

Do vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - 4} \right] = 0$. Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xf\left( x \right)}}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}$

$= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}}} = \frac{{2022}}{{1 + 0}} = 2022$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xf\left( x \right)}}{{x + 1}} = 2022$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{1 - \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {1 - \frac{3}{{f\left( x \right)}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)}}$

$= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f\left( x \right)}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 - \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 3}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2 + \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}}}$$= \frac{{1 - 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}$.

Ta có g(10) = 45 . 10$^{2}$ – 10$^{3}$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}$$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45{t^2} - {t^3} - {{45.10}^2} - {{10}^3}}}{{t - 10}}$

$$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{\left( {45{t^2} - {{45.10}^2}} \right) - \left( {{t^3} - {{10}^3}} \right)}}{{t - 10}}$$

$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45\left( {t - 10} \right)\left( {t + 10} \right) - \left( {t - 10} \right)\left( {{t^2} + 10t + 100} \right)}}{{t - 10}}$

$$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{\left( {t - 10} \right)\left[ {45\left( {t + 10} \right) - \left( {{t^2} + 10t + 100} \right)} \right]}}{{t - 10}}$$

$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \left( { - {t^2} + 35t + 350} \right) = 600$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}$ = 600.

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.