Giải SBT Toán 10 Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách có đáp án

Hướng dẫn giải

Xét m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0 ta có:

a$_{1}$ = 1, b$_{1}$ = 1, c$_{1}$= –2

a$_{2}$ = 2, b$_{2}$ = 2, c$_{2}$= –4

Xét tỉ số:

$\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$

Vậy m trùng với k.

Hướng dẫn giải

Xét $a:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.$ và $b:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 3t'}\\{y = 1 + t'}\end{array}} \right.$

Ta có:

Vectơ chỉ phương của a là: $\overrightarrow {{u_a}}$ = (2; 0)

Vectơ chỉ phương của b là: $\overrightarrow {{u_b}}$ = (3; 1)

Do $\frac{2}{3} \ne \frac{0}{1}$ nên $\overrightarrow {{u_a}}$ và $\overrightarrow {{u_b}}$ không cùng phương

Vậy a và b cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Xét d$_{1}$: x – 2y – 1 = 0 và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.$

Vectơ pháp tuyến của d$_{1}$ là: $\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {1; - 2} \right)$

Vectơ chỉ phương của d$_{2}$ là: $\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2; - 1} \right)$. Do đó, d$_{2}$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \overrightarrow {{n_{{d_2}}}}$ nên d$_{1}$ và d$_{2}$song song hoặc trùng nhau

Xét d$_{1}$: x – 2y – 1 = 0 . Khi x = 3 thì y = 1, do đó, điểm (3; 1) thuộc đường thẳng d$_{1}$.

Xét ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.$ có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3 = 1 - 2t}\\{1 = 2 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 1\end{array} \right.$ (không thể tồn tại), do đó, điểm (3; 1) không thuộc đường thẳng d$_{2}$

Vậy d$_{1}$ // d$_{2}$.

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k. Từ giả thiết ta có $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;1} \right),\overrightarrow {{n_k}} = \left( {1; - 1} \right)$. Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\,\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {0.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow \varphi = 45^\circ$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Từ giả thiết ta có $\overrightarrow {{u_a}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_b}} = \left( {3;1} \right)$

nên $\overrightarrow {{u_b}} = \left( {1; - 3} \right)$. Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_a}} ,\,\,\overrightarrow {{u_b}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} .\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 45^\circ$

Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là φ = 45°.