Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 năm 2025-2026 THCS Việt Hưng (Hà Nội) có đáp án

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = \frac{1}{2}$ (TMĐK) vào $N$, ta được: $N = \;\frac{{\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} - 3}}\; = \frac{{ - 7}}{5}.$

Vậy với $x = \frac{1}{2}$ thì $N = \frac{{ - 7}}{5}.$

b) Với $x \ne - 3,\,\,x \ne 3,$ ta có:

$$M = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}\; = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$

$$= \;\frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \;\frac{{9x - 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$

$$= \;\frac{{{x^2} - 6x + 9 + 9x - 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$

$= \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}}$.

Vậy với $x \ne - 3,\,\,x \ne 3$ thì $M = \frac{x}{{x - 3}}.$

c) Ta có $A = M:N = \frac{x}{{x - 3}}:\frac{{x + 3}}{{x - 3}}\; = \frac{x}{{x + 3}}.$

Để $A = \frac{{ - 1}}{5}$ thì $\frac{x}{{x + 3}} = \frac{{ - 1}}{5}$ suy ra $5x = - x - 3$ nên $6x = - 3$ hay $x = \frac{{ - 1}}{2}.$

Vậy để $A = \frac{{ - 1}}{5}$ thì $x = \frac{{ - 1}}{2}.$

Hướng dẫn giải

1) a) $f\left( { - 1} \right) = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 = 1.$

b) Ta có $f\left( x \right) = - 1$ hay $2x + 3 = - 1$ nên $x = - 2$.

2) a)Thời gian tổ làm xong việc theo kế hoạch là $\frac{{650}}{x}$ (giờ).

b) Số khẩu trang tổ may mỗi giờ theo thực tế $x + 8$ (chiếc)

Thời gian thực tế tổ làm xong việc là: $\frac{{650}}{{x + 8}}$ (giờ).

Hướng dẫn giải

1) Thể tích của khối chóp Inox là: $\frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 1560 = 46\,\,800\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).$

2)

a) Xét tứ giác $BDME$ có $\widehat {DBE} = 90^\circ$ (do $ABC$ vuông tại $B);$

$\widehat {BDM} = 90^\circ$ (do $MD \bot AB\,)$;

$\widehat {BEM} = 90^\circ$ (do $ME \bot BC\,)$.

Do đó tứ giác $BDME$ là hình chữ nhật.

b) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$ nên $BM = \frac{1}{2}AC$ suy ra $BM = MC.$

Suy ra $\Delta BMC$ cân tại $M$ có $ME$ là đường cao (do $ME \bot BC\,)$ nên $ME$ là đường trung tuyến hay $BE = EC.$

Xét tứ giác $AFCE$ có $M$ là trung điểm $AC$ (gt) và $M$ là trung điểm $EF$ (vì $MF = ME\,).$

Suy ra hai chéo $AC$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường.

Do đó $AFCE$ là hình bình hành.

c) Gọi $I,\,\,K$ lần lượt là giao điểm của $BM,\,\,BF$ với AE. Chứng minh: $FC = 6IK.$

Trong ${\rm{\Delta }}ABC$ có

$AM\; = \;MC$ (do $M$ là trung điểm $AC$) nên $BM$ là đường trung tuyến của ${\rm{\Delta }}ABC$;

$BE = EC$ (câu b) nên $AE$ là hai đường trung tuyến của ${\rm{\Delta }}ABC$.

Mà $I$ là giao điểm của $BM$ và $AE$ nên $I$ là trọng tâm ${\rm{\Delta }}ABC$.

Suy ra $AI = \frac{2}{3}AE$ nên $IE = \frac{1}{3}AE.$

Vì $AFCE$ là hình bình hành nên $AF\,{\rm{//}}\,EC$ hay $AF\,{\rm{//}}\,BC$.

Mà $AB \bot BC$ nên $AB \bot AF$ hay $\widehat {BAF} = 90^\circ .$

Xét tứ giác $ABEF$ có $\widehat {BAF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BEF} = 90^\circ .$

Suy ra $ABEF$ là hình chữ nhật nên $K$ là trung điểm của $AE$ hay $AK = EK = EK = \frac{1}{2}AE.$

Ta thấy $K$ và $I$ đều nằm trên đoạn $AE$ mà $EK\; > \;EI$ $\left( {{\rm{do}}\,\,\frac{1}{2}AE > \frac{1}{3}AE} \right)$

Suy ra điểm $I$ nằm giữa $E$ và $K$ nên $IK\; = \;EK\;--\;EI$ $= \frac{1}{2}AE - \frac{1}{3}AE = \frac{1}{6}AE$.

Do đó $AE\; = \;6IK$ (đpcm).

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số lần giảm giá vé $\left( {x\; > \;0} \right).$

Mỗi lần giảm $10\,\,000$ đồng, nên tổng số tiền giảm là: $10\,\,000x$ (đồng).

Giá vé sau khi giảm là: $120\,\,000 - 10\,\,000x$ (đồng).

Mỗi lần giảm giá thì số khán giả tăng thêm 100 người, nên tổng số khán giả tăng thêm là $100x$ (người).

Tổng số khán giả đến xem là: $800\; + \;100x$ (người).

Doanh thu rạp chiếu phim là: $R = \left( {120\,\,000 - 10\,\,000x} \right)\left( {800 + 100x} \right)$

$= 10\,\,000\left( {12 - x} \right) \cdot 100\left( {8 + x} \right)$

$= 1\,\,000\,\,000\left( {12 - x} \right)\left( {8 + x} \right)$

$= 1\,\,000\,\,000\left( { - {x^2} + 4x + 96} \right)$

Để doanh thu $R$ lớn nhất thì $- {x^2} + 4x + 96$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $- \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 4 + 96$$= - {\left( {x - 2} \right)^2} + 100$

Vì $- {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0$ với mọi nên $- {x^2} + 4x + 96 = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 100 \le 100.$

Dấu “=” xảy ra khi $x\; - \;2\; = \;0$ hay $x\; = \;2$.

Khi đó, số tiền giảm giá là: $2\; \cdot 10\,\,000\; = \;20\,\,000$ (đồng).

Giá vé rạp chiếu phim phải bán để doanh thu lớn nhất là:

$120\,\,000 - 20\,\,000 = 100\,\,000$ (đồng).

Vậy rạp chiếu phim phải bán vé với giá $100\,\,000$ đồng để doanh thu là lớn nhất.