TopStudy

Toán · Lớp 8

Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 năm 2024-2025 THCS Phan Đình Giót (Hà Nội) có đáp án

5 câu · 10 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Rút gọn biểu thức

a) (x+2)2−(x+3)(x−3)+10{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) + 10

b) (x+1)(x2−x+1)−x(x2−1)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - x\left( {{x^2} - 1} \right)

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) (x+2)2−(x+3)(x−3)+10=x2+4x+4−x2+9+10=4x+23\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) + 10\\{\rm{ }} = {x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 9 + 10\\{\rm{ = }}4x + 23\end{array}

b) (x+1)(x2−x+1)−x(x2−1)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - x\left( {{x^2} - 1} \right)

=x3+1+x−x3= {x^3} + 1 + x - {x^3}

=1+x= 1 + x

Câu 2

1 điểm

1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) xy−16x2yxy - 16{x^2}y

b) x2−y2−3x+3y{x^2} - {y^2} - 3x + 3y

c) x2−4xy+4y2−4{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4

2. Tìm x, biết:

a) 15x2−3x=015{x^2} - 3x = 0

b) 2x(x−7)+4(7−x)=02x\left( {x - 7} \right) + 4\left( {7 - x} \right) = 0

c) x(2x+3)+4x2=9x\left( {2x + 3} \right) + 4{x^2} = 9

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1.

axy−16x2y=xy(1−16x)xy - 16{x^2}y = xy\left( {1 - 16x} \right)
bx2−y2−3x+3y{x^2} - {y^2} - 3x + 3y =(x2−y2)−3(x−y)= \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) =(x−y)(x+y)−3(x−y)= \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 3\left( {x - y} \right)=(x−y)(x+y−3)= \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 3} \right)
cx2−4xy+4y2−4{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4=(x2−4xy+4y2)−4{\rm{ = }}\left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) - 4 =(x−2y)2−22{\rm{ = }}{\left( {x - 2y} \right)^2} - {2^2} =(x−2y−2)(x−2y+2)= \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x - 2y + 2} \right)

2.

a15x2−3x=015{x^2} - 3x = 0 3x(5x−1)=03x\left( {5x - 1} \right) = 0 TH1: x=0x = 0 TH2: 5x−1=05x - 1 = 0 x=15x = \frac{1}{5} Vậy x=15x = \frac{1}{5}
b2x(x−7)+4(7−x)=02x\left( {x - 7} \right) + 4\left( {7 - x} \right) = 0 2x(x−7)−4(x−7)=02x\left( {x - 7} \right) - 4\left( {x - 7} \right) = 0 (x−7)(2x−4)=0\left( {x - 7} \right)\left( {2x - 4} \right) = 0
TH1: x−7=0x=7\begin{array}{l}x - 7 = 0\\x = 7\end{array} ] TH2: 2x−4=0x=2\begin{array}{l}2x - 4 = 0\\x = 2\end{array} Vậy x∈{7 ;  5}.x \in \left\{ {7\,;\,\,5} \right\}.
cx(2x+3)+4x2−9=0x\left( {2x + 3} \right) + 4{x^2} - 9 = 0 x(2x+3)+(2x+3)(2x−3)=0x\left( {2x + 3} \right) + \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0 (2x+3)(x+2x−3)=0\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2x - 3} \right) = 0 (2x+3)(3x−3)=0\left( {2x + 3} \right)\left( {3x - 3} \right) = 0
TH1: 2x+3=02x + 3 = 0 x=−32x = \frac{{ - 3}}{2} TH2: 3x−3=03x - 3 = 0 x=1x = 1 Vậy x∈{−32;  1}.x \in \left\{ {\frac{{ - 3}}{2};\,\,1} \right\}.

Câu 3

1 điểm

Cho biểu đồ về lượng mưa và nhiệt độ trong năm 20232023 của Hà Nội (Hình vẽ)

a) Tháng nào có nhiệt độ cao nhất, thấp nhất? Vì sao lại có sự khác biệt này?

b) Tháng nào có lượng mưa nhiều nhất, ít nhất?

c) Em thích tháng nào nhất trong năm và tháng đó có nhiệt độ và lượng mưa như thế nào?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

aTháng có nhiệt độ cao nhất là tháng 77 với nhiệt độ khoảng 30∘C30^\circ C và tháng có nhiệt độ thấp nhất là tháng 11 với nhiệt độ trung bình vào khoảng 16∘C16^\circ C.
Sự khác biệt này là do Hà Nội có 44 mùa Xuân, Hạ, Thu, Đông, Khi đó tháng 77 là tháng nằm trong mùa hè, nên nhiệt độ trung bình sẽ cao, ngược lại tháng 11 vẫn chịu ảnh hưởng của mùa đông nên nhiệt độ sẽ thấp.
bTháng có lượng mưa nhiều nhất là tháng 88, tháng có lượng mưa ít nhất là tháng 11.
cHọc sinh tự trả lời.

Câu 4

1 điểm

1. Cho hình vẽ, biết:

BE // DA, EC=9,6  m,  DB=4,5  m,  BC=5  mEC = 9{,}6\,\,{\rm{m}},\,\,DB = 4{,}5\,\,{\rm{m}},\,\,BC = 5\,\,{\rm{m}}. Một người đứng ở vị trí E  E\; trên bờ, tính khoảng cách AE  AE\;từ chiếc thuyền tới vị trí người đứng?

Hình minh hoạ

2. Cho tam giác ABC  ABC\; cân tại B.B. Gọi H,  MH,\;M lần lượt là trung điểm của AC  AC\;và BC.BC.

a) Chứng minh HM//ABHM//AB và CH.CB=CM.CA.CH.CB = CM.CA.

b) Lấy điểm K  K\;sao cho M  M\;là trung điểm của HK.HK. Chứng minh tứ giác BKCH  BKCH\;là hình chữ nhật.

c) Kẻ CE⊥AK  (E∈AK).CE \bot AK\,\,\left( {E \in AK} \right). Gọi N  N\;là trung điểm của EA.EA. Chứng minh BN⊥CN.BN \bot CN.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1Δ\DeltaADC có BE // DA ⇒CEAE=CBCD\Rightarrow \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CB}}{{CD}}(định lý Thalès) Thay số: 9,6AE=44,5\frac{{9{,}6}}{{AE}} = \frac{4}{{4{,}5}} AE = 10,8 m Vậy khoảng cách AE từ thuyền đến vị trí người đứng là 10,8 m.
2Hình minh hoạ
aChỉ ra được HM là đường trung bình của tam giác ABC nên HM // AB.
Suy ra được tỉ số CHCA=CMCB\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CB}} nên CH.CB=CM.CACH.CB = CM.CA
bChứng minh tứ giác BKCH là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Tam giác ABC cân tại B có BH là đường trung tuyến Ta có BH là đường cao nên BHC^=90∘\widehat {BHC} = 90^\circ Suy ra BKCH là hình chữ nhật.
cChứng minh được NH là đường trung bình của tam giác AEC nên NH //EC. Mà EC vuông góc với AK (gt) nên NH vuông góc với AK. Suy ra tam giác KNH vuông tại N.
Có NM là đường trung tuyến nên NM=12HKNM = \frac{1}{2}HK. Mà HK = BC (BKCH là hình chữ nhật) nên NM=12BCNM = \frac{1}{2}BC. Xét tam giác BNC có NM là đường trung tuyến và NM=12BCNM = \frac{1}{2}BC. Tam giác BNC vuông tại N nên BN⊥CNBN \bot CN.

Câu 5

1 điểm
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 20  m20\;m, chiều rộng bằng nửa chiều dài. Người ta giảm chiều dài đi x(m)x(m) và tăng chiều rộng thêm x(m)x(m). Tìm x  x\;để diện tích miếng đất thu được là lớn nhất.
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Chiều rộng miếng đất là 20:2=10  m20:2 = 10\;m.

Chiều dài sau khi giảm là: 20−x  (m)20 - x\;(m)

Chiều rộng sau khi tăng là: 10+x  (m)10 + x\;(m)

Diện tích thu được là: S=(20−x)(10+x)S = \left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right)=200+10x−x2=−(x2−10x+25)+225=−(x−5)2+225= 200 + 10x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 10x + 25} \right) + 225 = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225

Vì −(x−5)2≤0- {\left( {x - 5} \right)^2} \le 0 với mọi xx nên S=−(x−5)2+225≤225S = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225 \le 225 với mọi xx.

Dấu “=” xảy ra khi x=5x = 5.

Vậy để diện tích miếng đất thu được lớn nhất thì x=5x = 5.

Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 8 - Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 8