Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 25)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$. Giá trị của $\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {B'D'}$ là:

Khảo sát thời gian tự học của một số học sinh lớp 11 trong một ngày, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là

Cho tứ diện $S.ABC$ có các cạnh $SA,\,SB,\,SC$ đôi một vuông góc và $SA = SB = SC = 1$ (minh họa như hình dưới). Gọi $\alpha$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$. Tính $\cos \alpha$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _5}\left( {4x + 1} \right)$.

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang và 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang.

Gọi $A$ là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang”;

$B$ là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang”;

$C$ là biến cố: “không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần đều không mang khẩu trang”;

$D$ là biến cố: “ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang”.

Thành phố $X$ theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực $A$ và $B$ trong thời gian 6 năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ dưới đây mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai tỉnh trên trong 6 năm, với đơn vị trên trục $Ot$ tính bằng năm, $t = 0$ ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục$\;Oy$ biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.

Khu vực $A$ có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm ${P'_A}\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8$.

Khu vực $B$ có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm ${P'_B}\left( t \right) = a - \frac{1}{2}t$.

Biết rằng ${P_A}\left( t \right)\,,\,{P_B}\left( t \right)$ lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực $A$ và $B$ sau $t$ năm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$ và có khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d:y = 3x + 6$ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = 6{a^2} + 7{b^2}.$

Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau:

Biết rằng $x,y$ là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng $\frac{{845}}{{21}}$. Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng $0{,}5\,{\rm{m}}$ và cách chỗ Bình $4{,}5\,{\rm{m}}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia $Ox$ và mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 5{b^2} - {c^2} + 3{d^2}$ bằng bao nhiêu?

Nhằm thu hút du khách và khẳng định vị thế dẫn đầu, công viên nước Đầm Sen quyết định đầu tư xây dựng một đường trượt nước độc đáo có mặt cắt được gắn vào hệ trục $Oxy$ (xem trục $Ox$ là mặt đất) với đơn vị mỗi trục là $1\,{\rm{m}}$ như hình vẽ dưới đây. Đường trượt được thiết kế theo hình dạng của một hàm bậc ba $y = g\left( x \right)$, với mục tiêu tối ưu hóa trải nghiệm của người dùng , một phần đường trượt được đặt dưới mặt đất để tận dụng địa hình và tạo hiệu ứng bất ngờ. Điểm đầu của đường trượt là $H\left( { - 3;a} \right)$ và điểm cuối là $K\left( {8;0} \right)$ và ngay dưới điểm $K$ là một bể bơi. Để tiếp cận đường trượt, một cầu thang cong có dạng parabol $y = f\left( x \right)$ có đỉnh là điểm $M\left( { - 8;0} \right)$ được xây dựng, đảm bảo độ dốc vừa phải và an toàn cho người sử dụng.

Các diện tích hình phẳng được tạo bởi các đồ thị $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = - 3$ và trục hoành như hình vẽ. Để đảm bảo an toàn tuyệt đối cho người chơi và tính ổn định của công trình, các kỹ sư cần đặc biệt chú trọng đến phần đường trượt nằm dưới lòng đất. Hãy xác định độ cao lớn nhất mà đường trượt chìm xuống so với mặt đất (đơn vị: mét) biết rằng ${S_1} + {S_3} = {S_2} + {S_4} + \frac{{109}}{{12}}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).