Đề minh họa thi vào lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2026 trường Phổ thông Năng khiếu (TP.Hồ Chí Minh) có đáp án

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

Biểu thức $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}$ xác định khi và chỉ khi

Cho đường thẳng $(d):y = ax + b$ có hình dạng như hình vẽ

Hỏi kết luận nào sau đây là đúng?

(Hình ảnh minh họa đồ thị đường thẳng cắt trục tung tại điểm âm và có hướng đi lên từ trái sang phải)

B. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm)

Cho biểu thức $A = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 3\sqrt x + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$, (với $x \ge 0\,,\,\,x \ne 1\,,\,\,x \ne 4$).

a) Chứng minh biểu thức $A\left( {\sqrt x - 1} \right)$ không phụ thuộc vào $x$.

b) Tìm $x$ sao cho $A \cdot \left( {x + 1} \right) = 5$.

a) Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} + xy + y - 1 = 0}\\{x + \sqrt {x + 2y} = y - 1}\end{array}} \right.$

b) Cho hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $AB = 2\,\,{\rm{cm}}$, đáy lớn $CD = 6\,\,{\rm{cm}}$ và $M$ là một điểm nằm trên cạnh $BC.$ Xác định tỷ số $\frac{{BM}}{{BC}}$ để diện tích tam giác $\Delta MAD$ bằng $\frac{3}{8}$ lần diện tích hình thang $ABCD$.

Cho phương trình $\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m - 3 = 0\quad (1)$

a) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ nhận $x = 2$ là nghiệm.

b) Tìm $m \ne - 1$ để phương trình $(1)$ có nghiệm hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn:

$\left( {2{x_1} - 1} \right)\left[ {\left( {m + 1} \right)x_2^2 - 2m{x_2} + m - 5} \right] = 10$.

Bạn An và Bình mỗi bạn mang một số tiền ra nhà sách mua bút và vở. Một cây bút có giá 10 (ngàn đồng), một quyển vở có giá 20 (ngàn đồng). An và Bình nhẩm tính theo số tiền mình đang có mỗi bạn sẽ mua được số bút nhiều gấp đôi số vở. Tuy nhiên ngày hôm nay cửa hàng giảm giá 10% trên mỗi cây bút và giảm 20% trên mỗi quyển vở.

a) An nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua được cùng số bút nhưng nhiều hơn 3 quyển vở so với dự tính. Hỏi An mang theo bao nhiêu tiền?

b) Bình nhận thấy với cách giảm giá trên mình có thể mua nhiều hơn dự tính 2 quyển vở và 2 cây bút nhưng vẫn dư lại một số tiền. Hỏi ban đầu Bình có bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền dư ít hơn 10 (ngàn đồng).

Cho tam giác $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} < 90^\circ$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right).$ Các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại điểm $S$. Biết $SB$ cắt $\left( O \right)$ tại $D$ và $CD$ cắt $SA$ tại $K$. Gọi $H$ là trung điểm của $AC.$

a) Chứng minh rằng $SA\,{\rm{//}}\,BC$ và $\widehat {KAD} = \widehat {KCA}$.

b) Chứng minh rằng $K{A^2} = KC \cdot KD$ và tam giác $\Delta KSD$ đồng dạng với tam giác $\Delta KCS$.

c) Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $AS$ và $DB = 2DC$.