Đề minh họa thi vào lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2026 trường Phổ thông Năng khiếu (TP.Hồ Chí Minh) có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn được $A = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$.

Suy ra $A\left( {\sqrt x - 1} \right) = 1$ nên biểu thức $A\left( {\sqrt x - 1} \right)$ không phụ thuộc vào $x$.

b) Ta có $A \cdot \left( {x + 1} \right) = 5$

$\frac{1}{{\sqrt x - 1}} \cdot \left( {x + 1} \right) = 5$

$x + 1 = 5\sqrt x - 5$

$x - 5\sqrt x + 6 = 0$

$\sqrt x = 2$ hoặc $\sqrt x = 3$

Do đó $x = 4$ (loại) hoặc $x = 9$ (thỏa mãn).

Vậy để $A \cdot \left( {x + 1} \right) = 5$ thì $x = 9$.

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} + xy + y - 1 = 0}&{(1)}\\{x + \sqrt {x + 2y} = y - 1}&{(2)}\end{array}} \right.$

Điều kiện $x + 2y \ge 0$.

Phương trình (1) trở thành: $\left( {x + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0$

$x = - 1$ hoặc $y = 1 - x$

TH1: $x = - 1$, thế vào (2) ta có:

$- 1 + \sqrt {2y - 1} = y - 1$

$\sqrt {2y - 1} = y$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y \ge 0}\\{2y - 1 = {y^2}}\end{array}} \right.$

$y = 1$ (thỏa mãn)

TH2: $y = 1 - x$, thế vào (2) ta có:

$x + \sqrt {x + 2 - 2x} = 1 - x - 1$

$\sqrt {2 - x} = - 2x\quad$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \le 0}\\{2 - x = 4{x^2}}\end{array}} \right.$

$x = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{8}$ (loại) hoặc $x = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{8}$ (thỏa mãn)

Với $x = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{8}$ thì $y = \frac{{9 + \sqrt {33} }}{8}.$

b)

Đề bài tương đương với tìm $x = \frac{{BM}}{{BC}}$ để ${S_{MAB}} + {S_{MCD}} = \frac{5}{8}{S_{ABCD}}.\quad (*)$

Gọi $h$ là chiều cao của hình thang, ta có:

${S_{MAB}} + {S_{MCD}} = \frac{{x \cdot h \cdot AB}}{2} + \frac{{\left( {1 - x} \right)h \cdot CD}}{2} = xh + 3\left( {1 - x} \right)\,h = \left( {3 - 2x} \right)h$

${S_{ABCD}} = \frac{{h\left( {AB + CD} \right)}}{2} = 4h.$

Từ $(*)$ ta có $3 - 2x = \frac{5}{2}$ suy ra $x = \frac{1}{4}.$

Vậy $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{4}.$

Hướng dẫn giải

a) Thế vào phương trình: $\left( {m + 1} \right)4 - 2\left( {m + 2} \right)2 + m - 3 = 0$ suy ra $m = 3$.

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 6m + 7 > 0$ nên $m > \frac{{ - 7}}{6}.$

Theo định lí Viète, ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m + 4}}{{m + 1}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{{m + 1}}}\end{array}} \right.$.$x = 2$

Do ${x_2}$ là nghiệm của phương trình (1) nên $\left( {m + 1} \right)x_2^2 - 2m{x_2} + m - 5 = 4{x_2} - 2$.

Suy ra $\left( {2{x_1} - 1} \right)\left[ {\left( {m + 1} \right)x_2^2 - 2m{x_2} + m - 5} \right] = 10$

$\left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {2{x_2} - 1} \right) = 5$

$$4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4$$

$4 \cdot \frac{{m - 3}}{{m + 1}} - 2 \cdot \frac{{2m + 4}}{{m + 1}} = 4$

$\frac{{ - 20}}{{m + 1}} = 4$

$m = - 6$

Hướng dẫn giải

a) Gọi $a > 0$ là quyển vở mà An dự tính mua $\left( {a \in \mathbb{N}} \right).$

Khi đó, số cây bút An định mua là $2a$.

Gọi $b$ (ngàn đồng) là số tiền ban đầu của An.

Theo đầu bài ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2a \cdot 10 + 20a = b}\\{2a \cdot 9 + \left( {a + 3} \right) \cdot 16 = b}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 8}\\{b = 320.}\end{array}} \right.$

Vậy ban đầu bạn An có 320 (ngàn đồng).

b) Gọi $x$ là số quyển vở mà Bình dự tính mua $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Suy ra số cây bút An dự tính mua là $2x.$

Gọi $y$ (ngàn đồng) là số tiền ban đầu của Bình và $n$ (ngàn đồng) là số tiền thừa $\left( {0 < n < 10} \right).$

Theo đầu bài ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{10 \cdot 2x + 20x = y}\\{\left( {2x + 2} \right) \cdot 9 + \left( {x + 2} \right) \cdot 16 = y - n}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{40x = y}\\{34x + 50 = y - n}\end{array}} \right.$.

Từ đó suy ra $6x = 50 + n$.

Vì $n,\,\,x$ là số nguyên và $0 < n < 10$ nên $n = 4$. Suy ra $x = 9$, $y = 360$.

Vậy ban đầu bạn Bình có 360 ngàn đồng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $SA \bot OA$ và $BC \bot OA$ nên $SA\,{\rm{//}}\,BC$.

Ta có: $\widehat {KAD} = 90^\circ - \widehat {OAD}$; $\widehat {KCD} = \frac{1}{2}\widehat {AOD}$.

Mà tam giác $OAD$ cân tại $O$ nên $\widehat {OAD} = \widehat {ODA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOD}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {AOD}$.

Suy ra $\widehat {KAD} = \widehat {KCA}$.

b) Xét $\Delta KAD$ và $\Delta KCA$ có: $\widehat {AKD}$ chung và $\widehat {KAD} = \widehat {KCA}$

Do đó .

Suy ra $\frac{{KA}}{{KC}} = \frac{{KD}}{{KA}}$ nên $K{A^2} = KC \cdot KD$.

Xét $\Delta KSD$ và $\Delta KCS$ có $\widehat {DKS}$ chung và $\widehat {KSD} = \widehat {DBC} = \widehat {KCS}$.

Do đó .

c) Suy ra $\frac{{KS}}{{KC}} = \frac{{KD}}{{KS}}$ suy ra $K{S^2} = KC.KD$.

Mà $K{A^2} = KC.KD$ nên $K$ là trung điểm của $AS$.

Để ý rằng $\widehat {ADK} = \widehat {ADB}$ nên $DA$ là phân giác ngoài của $\widehat {BDC}$ và cũng là của $\widehat {KDS}$.

Suy ra $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{DS}}{{DK}} = \frac{{AS}}{{AK}} = 2$.

Vậy $DB = 2DC$.