Đề minh họa thi vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp có đáp án

(4,0 điểm).

Cho số thực $a = \sqrt {17 - 12\sqrt 2 } + 2\sqrt 2 + 6$ và biểu thức

$P\left( x \right) = \left( {\frac{1}{{x - 4}} + \frac{{3\sqrt x + 10}}{{x\sqrt x - 2x - 4\sqrt x + 8}}} \right)\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{2\sqrt x }} - 4} \right)$ với $x > 0$ và $x \ne 4$.

a) Rút gọn $a$ và $P\left( x \right)$, sau đó tính giá trị của biểu thức $P\left( x \right)$ tại $x = a$.

b) Đặt $Q\left( x \right) = P\left( x \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)$ với $x > 0$ và $x \ne 1$. Chứng minh rằng $Q\left( x \right) > 2$.

(3,0 điểm).

a) Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ cách nhau $24$ km. Khi từ $B$ về $A$, nhờ xuôi chiều gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là $4$ km/h. Vì thế, thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ $A$ đến $B$.

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^3} - 3y} \right) = 3{x^2} - 2\\4{x^3}y = 2{x^2} + 1.\end{array} \right.$

(3 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số bậc hai $y = {x^2}$ có đồ thị là một parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $d:y = 2\left( {m - 3} \right)x - m + 4$. Chứng minh rằng parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ với mọi giá trị thực của tham số $m$, và nếu hai hoành độ này dương thì chúng thỏa mãn $\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0$.

b) Cho hai phương trình bậc hai với ẩn $x$ sau: ${x^2} + x + m = 0$ và ${x^2} + mx + 1 = 0$ (m là tham số). Định m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

(2,0 điểm).

Cho $n$ số nguyên dương phân biệt tùy ý, không vượt quá $2025$.

a) Với $n = 1014$, chứng minh luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a = b + c$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a = b + c$.

(2,0 điểm).

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $\left( {a,k,m} \right)$. Cho ba số nguyên dương $a,k,m$ thỏa mãn đẳng thức $k + {a^k} = m + 2{a^m}$ (1).

a) Chứng minh $k > m$.

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $\left( {a,k,m} \right)$ thỏa mãn (1).

(4,0 điểm).

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, nội tiếp đường tròn tâm $\left( O \right)$. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $B{\rm{D}} = BC$. Vẽ $DH$vuông góc $AC$ tại $H$, tia phân giác của góc $\widehat {CAB}$ cắt $DH$ tại $K$ và cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$. Tia $CK$ cắt $AB$ tại $M$ và cắt đường tròn (O) tại $F$. Tia $AC$ và tia $BE$ cắt nhau tại $N$.

a) Tính số đo của $\widehat {ANB}$

b) Chứng minh $\widehat {ADK} = \widehat {AFM}$

c) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $A{\rm{D}}$

d) Đường phân giác của $\widehat {BCF}$cắt $BF$ tại $U$và đường tròn $\left( O \right)$ tại $L$. Đường tròn tâm $\left( I \right)$ tiếp xúc trong với đường tròn $\left( O \right)$ tại $S$ ( $S$ thuộc cung nhỏ $BC$) và tiếp xúc với $BF$ tại $T$, đồng thời đường tròn $\left( I \right)$ cắt $CL$ tại $R$, $V$ ($R$ nằm giữa $C$ và $V$). Tia $BV$ cắt $\left( O \right)$ tại $P$. Vẽ dây $PQ$ song song với $CF$. Chứng minh $B$, $R$, $Q$ thẳng hàng.

(2,0 điểm).

Cho $x,y,z$ là các số thực dương.

a) Chứng minh $\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \ge \sqrt {xy} + \sqrt {xz}$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{x}{{x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}$.