Toán · Lớp 11

Đề kiểm tra Phép tính lũy thừa (có lời giải) - Đề 3

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

Cho các số nguyên dương

m,n

và số thực dương

a

. Mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án A: $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{m.n}]{a}$ .
Đáp án B: $\sqrt[n]{a}.\sqrt[m]{a} = \sqrt[{m.n}]{{{a^{m + n}}}}$ .
Đáp án C: ${\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$ .
Đáp án D: $\sqrt[n]{a}.\sqrt[m]{a} = \sqrt[{n + m}]{a}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Ta có:

\sqrt[n]{a}.\sqrt[m]{a} = {a^{\frac{1}{n}}}.{a^{\frac{1}{m}}} = {a^{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}} = {a^{\frac{{m + n}}{{n.m}}}} = \sqrt[{n.m}]{{{a^{m + n}}}}

Câu 2

1 điểm

Giá trị biểu thức

P = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}}

bằng

Đáp án A: $P = 30$ .
Đáp án B: $P = 10$ .
Đáp án C: $P = 3$ .
Đáp án D: $9$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Ta có:

P = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}} = {3^{10}}{.3^{ - 9}} = 3

Câu 3

1 điểm

Rút gọn biểu thức

{b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}

với

b > 0

Đáp án A: ${b^{\frac{4}{3}}}$ .
Đáp án B: ${b^2}$ .
Đáp án C: ${b^{\frac{5}{9}}}$ .
Đáp án D: ${b^{\frac{{ - 4}}{3}}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có:

{b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b} = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}

Câu 4

1 điểm

Giá trị biểu thức

\frac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(2 + \sqrt 3 )}^{ - 2024}}}}

bằng

Đáp án A: ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{4037}}$ .
Đáp án B: $2 - \sqrt 3$ .
Đáp án C: $2 + \sqrt 3$ .
Đáp án D: $1$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(2 + \sqrt 3 )}^{ - 2024}}}} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{2023}}.{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2024}} = {\left[ {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right]^{2023}}.\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^{2023}}.\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 2 + \sqrt 3 \end{array}$

Câu 5

1 điểm

Cho biểu thức

A = \sqrt[5]{a}.\sqrt[4]{b}

, điều kiện xác định của biểu thức

A

là.

Đáp án A: $a$ tùy ý, $b \ge 0$ .
Đáp án B: $a \ne 0;b \ne 0$ .
Đáp án C: $a$ tùy ý; $b > 0$ .
Đáp án D: $a \ge 0;b \ge 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Căn bậc chẵn xác định khi biểu thức trong căn không âm.

Căn bậc lẻ xác định với mọi biểu thức trong căn.

Câu 6

1 điểm

Cho biểu thức

P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}

, với

x > 0.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án A: $P = {x^{\frac{1}{2}}}$ .
Đáp án B: $P = {x^{\frac{7}{{24}}}}$ .
Đáp án C: $P = {x^{\frac{{15}}{{24}}}}$ .
Đáp án D: $P = {x^{\frac{7}{{12}}}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Rút gọn :

\left( {{a^{\frac{2}{3}}} + 1} \right)\left( {{a^{\frac{4}{9}}} + {a^{\frac{2}{9}}} + 1} \right)\left( {{a^{\frac{2}{9}}} - 1} \right)

ta được.

Đáp án A: ${a^{\frac{1}{3}}} + 1$ .
Đáp án B: ${a^{\frac{1}{3}}} - 1$ .
Đáp án C: ${a^{\frac{4}{3}}} + 1$ .
Đáp án D: ${a^{\frac{4}{3}}} - 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Cho

P = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}},x > 0;y > 0

. Biểu thức rút gọn của

P

là.

Đáp án A: $x - 1$ .
Đáp án B: $x + 1$ .
Đáp án C: $2x$ .
Đáp án D: $x$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Cho số thực

a

thỏa

{2^a} = 3

. Khi đó giá trị biểu thức

{4^a} + 3

bằng

Đáp án A: $3$ .
Đáp án B: 6.
Đáp án C: $12$ .
Đáp án D: 9.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Cho các số thực

x

y

thỏa

{5^x} = \frac{1}{2},\,\,\,{5^y} = \frac{1}{3}

. Khi đó giá trị biểu thức

\frac{{{2^x}{{.10}^y} + {2^y}{{.10}^x}}}{{{{10}^{x + y}}}}

bằng

Đáp án A: 5.
Đáp án B: 6.
Đáp án C: 7.
Đáp án D: 8.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Năm 2025, dân số của một quốc gia châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tình rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số

A

(triệu người) của quốc gia đó sau

t

năm kể từ năm 2025 được ước tính bằng công thức

A = {19.2^{\frac{t}{{30}}}}

. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa, dân số quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng triệu)

Đáp án A: 29 triệu người.
Đáp án B: 30 triệu người.
Đáp án C: 31 triệu người.
Đáp án D: 32 triệu người.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Nếu một khoản tiền gốc ${T_0}$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$ (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi $n$ lần trong một năm, thì tổng số tiền ${T_N}$ nhân được sau $N$ kì gửi được cho bởi công thức sau: ${T_N} = {T_0}{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^N}$

Hỏi nếu anh A gửi tiết kiệm số tiền 200 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5%/năm thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của anh A sau 2 năm khoảng bao nhiêu?

Đáp án A: 220,7 triệu đồng.
Đáp án B: 220 triệu đồng.
Đáp án C: 221,7 triệu đồng.
Đáp án D: 221 triệu đồng.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

Cho biểu thức

{9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = A

và

{144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = B

, khi đó:

Ý a: ${9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}}$
Ý b: ${9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {3^k}$ thì $k = 3$
Ý c: ${144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = {2^k}$ thì $k = 3$
Ý d: $A - B = 1$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho biểu thức

{\left( {{5^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 3}} + {\left[ {{{(0{,}2)}^{\frac{3}{5}}}} \right]^{ - 5}}

, khi đó:

Ý a: ${\left( {{5^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 3}} = {5^2}$
Ý b: ${\left[ {{{(0{,}2)}^{\frac{3}{5}}}} \right]^{ - 5}} = {(0{,}2)^{ - 3}}$
Ý c: ${\left( {{5^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 3}} + {\left[ {{{(0{,}2)}^{\frac{3}{5}}}} \right]^{ - 5}} = {5^m} + {5^n}$ với $m,n$ là các số tự nhiên chẵn
Ý d: ${\left( {{5^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 3}} + {\left[ {{{(0{,}2)}^{\frac{3}{5}}}} \right]^{ - 5}} = K$ với $K$ chia hết cho 4

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho biểu thức

{81^{ - 0{,}75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}}

, khi đó

Ý a: ${81^{ - 0{,}75}} = {\left( {{3^4}} \right)^{ - \frac{3}{4}}}$
Ý b: ${\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} = {\left( {{5^{ - 4}}} \right)^{\frac{1}{4}}}$
Ý c: ${81^{ - 0{,}75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = {3^m} + 5 - {2^n}$ , với $m + n = 0$
Ý d: ${81^{ - 0{,}75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = - \frac{a}{b}\,\left( {a,b \in \mathbb{N}*} \right)$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, khi đó $a - b = 52$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Cho biểu thức

\sqrt {\sqrt 5 \cdot {{(\sqrt[4]{{\sqrt 5 }}:\sqrt {\sqrt[5]{5}} )}^{10}}}

Ý a: $\sqrt[4]{{\sqrt 5 }} = {5^{\frac{1}{8}}}$
Ý b: $\sqrt[4]{{\sqrt 5 }}:\sqrt {\sqrt[5]{5}} = {5^{\frac{a}{b}}}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), khi đó: $a + b = 41$
Ý c: $\sqrt 5 \cdot {(\sqrt[4]{{\sqrt 5 }}:\sqrt {\sqrt[5]{5}} )^{10}} = {5^{\frac{a}{b}}}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), khi đó: $a + b = 6$
Ý d: $\sqrt {\sqrt 5 \cdot {{(\sqrt[4]{{\sqrt 5 }}:\sqrt {\sqrt[5]{5}} )}^{10}}} = {5^{\frac{a}{b}}}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), khi đó: $a + b = 12$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

Tính giá trị của biểu thức sau

{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - 2}}{.3^2}{.12^0}

;

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Phần IV. Tự luận

Câu 18

1 điểm

Biết

{10^\alpha } = 3;{10^\beta } = 7

. Tính

A = \frac{{{{100}^\alpha } \cdot 0,{{001}^\beta }}}{{{{10}^{ - \alpha }} \cdot {{10}^{2\beta }}}}

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Rút gọn biểu thức sau:

P = \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}}(a > 0,b > 0)

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng

1\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}

và dày khoảng

1,{94.10^{ - 7}}\,\,{\rm{m}}

. Đồng xu

5000

đồng dày

2,{2.10^{ - 3}}\,\,{\rm{m}}

. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại

5000

đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hang trăm.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Tại một xí nghiệp, công thức $P\left( t \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{3}}}$ được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian $t$ (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.