Đề kiểm tra Phép tính lũy thừa (có lời giải) - Đề 3

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(2 + \sqrt 3 )}^{ - 2024}}}} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{2023}}.{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2024}} = {\left[ {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right]^{2023}}.\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^{2023}}.\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 2 + \sqrt 3 \end{array}$

Căn bậc chẵn xác định khi biểu thức trong căn không âm.

Căn bậc lẻ xác định với mọi biểu thức trong căn.

Với $x > 0;y > 0$ ta có:

$P = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}{\left( {1 - \sqrt {\frac{y}{x}} } \right)^{ - 2}}$.

$= {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}{\left( {\frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{\sqrt x }}} \right)^{ - 2}} = x$.

Ta có:

$\begin{matrix}\frac{{2}^{x}{.10}^{y}+{2}^{y}{.10}^{x}}{{10}^{x+y}}=\frac{{2}^{x}{.10}^{y}+{2}^{y}{.10}^{x}}{{10}^{x}{.10}^{y}}=\frac{{2}^{x}{.10}^{y}}{{10}^{x}{.10}^{y}}+\frac{{2}^{y}{.10}^{x}}{{10}^{x}{.10}^{y}} \\ \ =\frac{{2}^{x}}{{10}^{x}}+\frac{{2}^{y}}{{10}^{y}}=\frac{1}{{5}^{x}}+\frac{1}{{5}^{y}}=2+3=5\end{matrix}$

Với $t = 20$ thì dân số quốc gia này sau 20 năm nữa là

$A = {19.2^{\frac{{20}}{{30}}}} \approx 30\,$ (triệu người)

Ta có: ${T_0} = 200$

$r = 5\%$

$n = 2$ (một năm nhận lãi 2 lần do kì hạn 6 tháng)

$N = 4$ (do gửi 2 năm thì tính là 4 kì hạn)

Thế vào công thức ta được số tiền cả vốn lẫn lãi sau 2 năm là

${T_N} = 200.{\left( {1 + \frac{{5\% }}{2}} \right)^4} \approx 220{,}7$ (triệu đồng)

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: ${9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^2} \cdot {3^3}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^5}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {3^2} = 9$.

Ta có: ${144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = {\left( {\frac{{144}}{9}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {16^{\frac{3}{4}}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {2^3} = 8$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: ${\left( {{5^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 3}} + {\left[ {{{(0{,}2)}^{\frac{3}{5}}}} \right]^{ - 5}} = {5^2} + {(0{,}2)^{ - 3}} = {5^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 3}} = {5^2} + {5^3} = 150$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: ${81^{ - 0{,}75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = {\left( {{3^4}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} + {\left( {{5^{ - 4}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {{2^{ - 5}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = {3^{ - 3}} + 5 - {2^3} = - \frac{{80}}{{27}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $\sqrt {\sqrt 5 \cdot {{(\sqrt[4]{{\sqrt 5 }}:\sqrt {\sqrt[5]{5}} )}^{10}}} = \sqrt {{5^{\frac{1}{2}}}{{\left( {{5^{\frac{1}{8}}}:{5^{\frac{1}{{10}}}}} \right)}^{10}}}$

$= \sqrt {{5^{\frac{1}{2}}}{{\left( {{5^{\frac{1}{{40}}}}} \right)}^{10}}} = \sqrt {{5^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{4}}}} = \sqrt {{5^{\frac{3}{4}}}} = {5^{\frac{3}{8}}}.$

$A = \frac{{{{\left( {{{10}^2}} \right)}^\alpha } \cdot {{\left( {{{10}^{ - 3}}} \right)}^\beta }}}{{{{10}^{ - \alpha }} \cdot {{10}^{2\beta }}}} = \frac{{{{10}^{2\alpha }}}}{{{{10}^{ - \alpha }}}} \cdot \frac{{{{10}^{ - 3\beta }}}}{{{{10}^{2\beta }}}} = {10^{2\alpha - ( - \alpha )}} \cdot {10^{ - 3\beta - 2\beta }}$

$= {10^{3\alpha }} \cdot {10^{ - 5\beta }} = {\left( {{{10}^\alpha }} \right)^3} \cdot {\left( {{{10}^\beta }} \right)^{ - 5}} = {3^3} \cdot {7^{ - 5}} = \frac{{{3^3}}}{{{7^5}}} = \frac{{27}}{{16807}}{\rm{. }}$

$P = \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} = \frac{{{{(\sqrt[4]{a})}^2} + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{{{(\sqrt[4]{a})}^2} - {{(\sqrt[4]{b})}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}}$

$= \frac{{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} = \sqrt[4]{a} - (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = - \sqrt[4]{b}$

Xét tỉ lệ:

$\frac{{2,{{2.10}^{ - 3}}}}{{1,{{94.10}^{ - 7}}}} \approx 11300$ (làm tròn đến hang trăm).

Vậy cần chồng $11300$ là vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại $5000$ đồng.

Giá trị còn lại của máy sau 2 năm kể từ khi đưa vào sử dụng là:

$P\left( 2 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 315$ (triệu đồng).

Giá trị còn lại của máy sau 2 năm 3 tháng kể từ khi đưa vào sử dụng là:

$P\left( {\frac{9}{4}} \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}} = 297$ (triệu đồng).

Vì sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con nên: $625000 = {s_0} \cdot {2^3}$

Số lượng vi khuẩn $V$ sau 9 phút là:

$s(t) = \frac{{625000}}{{{2^3}}} \cdot {2^9} = 625000 \cdot {2^6} = 4 \cdot {10^7}$(con)