TopStudy

Toán · Lớp 8

Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

11 câu · 17 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Tìm độ dài x,yx,{\rm{ }}y trong mỗi trường hợp sau:

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

⦁ Hình 1: Ta có MB=AB−AM=7−2=5.MB = AB - AM = 7 - 2 = 5. Tam giác ABCABC có MN // AB,MN\,{\rm{//}}\,AB, theo định lí Thalès ta có: AMMB=ANNC\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} hay 25=x6,\frac{2}{5} = \frac{x}{6}, suy ra x=125.x = \frac{{12}}{5}. Vậy x=125.x = \frac{{12}}{5}.Hình 1
⦁ Hình 2: Ta có: EF⊥MN,  NP⊥MNEF \bot MN,\,\,NP \bot MN nên EF // NP.EF\,{\rm{//}}\,NP. MP=MF+FP=5+15=20.MP = MF + FP = 5 + 15 = 20. Tam giác MNPMNP có EF // NP,EF\,{\rm{//}}\,NP, theo định lí Thalès ta có: MEMN=MFMP\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MF}}{{MP}} hay 3y=520,\frac{3}{y} = \frac{5}{{20}}, suy ra y=3⋅205=12.y = \frac{{3 \cdot 20}}{5} = 12. Vậy y=12.y = 12.Hình 2
⦁ Hình 3: Tam giác ABCABC có M,  NM,\,\,N lần lượt là trung điểm của ABAB và ACAC nên MNMN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN=12BC=12⋅15=7,5  (cm).MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right). Vậy x=7,5  cm.x = 7{,}5\,\,{\rm{cm}}.Hình 3
⦁ Hình 4: Tam giác ABCABC có M,  NM,\,\,N lần lượt là trung điểm của ABAB và ACAC nên MNMN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN=12BC.MN = \frac{1}{2}BC. Suy ra x=BC=2MN=2⋅3,5=7(cm).x = BC = 2MN = 2 \cdot 3{,}5 = 7\left( {{\rm{cm}}} \right). Vậy x=7  cm.x = 7{\rm{\;cm}}.Hình 4
⦁ Hình 5: Xét tam giác ABCABC có ADAD là phân giác trong góc BAC^\widehat {BAC} (do BAD^=CAD^),\widehat {BAD} = \widehat {CAD}), nên ABAC=DBDC,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}, hay DBAB=DCAC\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} Do đó 35=DC8,5,\frac{3}{5} = \frac{{DC}}{{8{,}5}}, suy ra DC=8,5⋅35=5,1.DC = \frac{{8{,}5 \cdot 3}}{5} = 5{,}1. Khi đó x=BC=DB+DC=3+5,1=8,1.x = BC = DB + DC = 3 + 5{,}1 = 8{,}1.Hình 5
⦁ Hình 6: Xét tam giác IKJIKJ có ILIL là phân giác trong góc KIJ^\widehat {KIJ} (do KIL^=JIL^),\widehat {KIL} = \widehat {JIL}), nên IKIJ=LKLJ\frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{{LK}}{{LJ}} hay LKIK=LJIJ\frac{{LK}}{{IK}} = \frac{{LJ}}{{IJ}} Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: LK6,2=LJ8,7=LK+LJ6,2+8,7=KJ14,9=12,514,9.\frac{{LK}}{{6{,}2}} = \frac{{LJ}}{{8{,}7}} = \frac{{LK + LJ}}{{6{,}2 + 8{,}7}} = \frac{{KJ}}{{14{,}9}} = \frac{{12{,}5}}{{14{,}9}}. Suy ra LJ=12,514,9⋅8,7≈7,3.LJ = \frac{{12{,}5}}{{14{,}9}} \cdot 8{,}7 \approx 7{,}3.Hình 6

Câu 2

1 điểm

Cho tam giác ABCABC vuông tại A  (AB<AC).A\,\,\left( {AB < AC} \right). Gọi II là trung điểm của cạnh BC.BC. Qua II vẽ ININ vuông góc với ACAC tại N.N. Lấy điểm DD sao cho NN là trung điểm của ID.ID.

a) Chứng minh NN là trung điểm của ACAC và tứ giác ADCIADCI là hình thoi.

c) Đường thẳng BNBN cắt cạnh DCDC tại K.K. Chứng minh DKDC=13.\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Xét ΔABC\Delta ABC có AB⊥AC;  IN⊥ACAB \bot AC;\,\,IN \bot AC nên AB // IN.AB\,{\rm{//}}\,IN.

Mà II là trung điểm của BCBC nên ININ là đường trung bình của tam giác, do đó NN là trung điểm của AC.AC.

Xét tứ giác ADCIADCI có: NN là trung điểm của ID,  ACID,\,\,AC nên ADCIADCI là hình bình hành.

Hình minh hoạ

Lại có IN⊥ACIN \bot AC hay ID⊥ACID \bot AC nên hình bình hành ADCIADCI là hình thoi.

b) Kẻ IH // BK  (H∈CD),IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right), mà II là trung điểm của BC,BC, nên IHIH là đường trung bình của ΔBKC.\Delta BKC. Do đó HH là trung điểm của KCKC hay KH=HC  (1)KH = HC\,\,\left( 1 \right)

Xét ΔDIH\Delta DIH có NN là trung điểm của DIDI và NK // IHNK\,{\rm{//}}\,IH (do BK // IH)BK\,{\rm{//}}\,IH) nên NKNK là đường trung bình của ΔDIH,\Delta DIH, suy ra KKlà trung điểm của DHDH hay DK=KH  (2)DK = KH\,\,\left( 2 \right)

Hình minh hoạ

Từ (1)\left( 1 \right) và (2)\left( 2 \right) suy ra DK=KH=HC.DK = KH = HC. Do đó DKDC=13.\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.

Câu 3

1 điểm

Cho ΔABC\Delta ABC trung tuyến AD.AD. Vẽ tia phân giác của ADB^\widehat {ADB} cắt ABAB tại M,M, tia phân giác của ADC^\widehat {ADC} cắt ACAC tại N.N. Chứng minh rằng:

a) MBMA=BDAD.\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.

b) MBMA=NCNA.\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.

c) MN // BC.MN\,{\rm{//}}\,BC.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Xét ΔABD\Delta ABD có DMDM là đường phân giác của ADB^\widehat {ADB} nên DADB=MAMB\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}} (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét ΔACD\Delta ACD có DNDN là đường phân giác của ADC^\widehat {ADC} nên DADC=NANC\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{NA}}{{NC}} (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Hình minh hoạ

Mà DADB=MAMB\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}} (câu a) và DB=DCDB = DC nên MBMA=NCNA.\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.

c) Xét ΔABC\Delta ABC có: MBMA=NCNA\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}} (câu b) nên MN // BCMN\,{\rm{//}}\,BC(định lí Thalès đảo).

Câu 4

1 điểm

Cho tam giác ABCABC có AB<AC.AB < AC. Tia phân giác BAC^\widehat {BAC} cắt cạnh BCBC tại điểm D.D. Gọi MM là trung điểm của cạnh BC.BC. Qua điểm MM kẻ đường thẳng song song với đường thẳng ADAD cắt các đường thẳng AC,  ABAC,\,\,AB lần lượt tại EE và K.K. Chứng minh rằng:

a) Tam giác AEKAEK cân.

b) AKEC=DMMB.\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.

c) BK=EC.BK = EC.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Vì AD // KMAD\,{\rm{//}}\,KM nên BAD^=BKM^\widehat {BAD} = \widehat {BKM} (đồng vị).

Vì AD // EMAD\,{\rm{//}}\,EM nên CAD^=CEM^\widehat {CAD} = \widehat {CEM} (đồng vị).

Mà ADAD là tia phân giác của BAC^\widehat {BAC} nên BAD^=CAD^.\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.

Do đó BKM^=CEM^,\widehat {BKM} = \widehat {CEM}, lại có CEM^=AEK^\widehat {CEM} = \widehat {AEK} nên BKM^=AEK^\widehat {BKM} = \widehat {AEK} hay AKE^=AEK^.\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.

Hình minh hoạ

Tam giác AEKAEK có AKE^=AEK^\widehat {AKE} = \widehat {AEK} nên là tam giác cân tại A.A.

b) Xét ΔACD\Delta ACD có EM // AD,EM\,{\rm{//}}\,AD, theo định lí Thalès ta có AEEC=DMMC.\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.

Mà ΔAEK\Delta AEK cân tại AA nên AK=AE.AK = AE.

Lại có điểm MM là trung điểm của BCBC nên MB=MC.MB = MC.

Do đó AKEC=DMMB.\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.

c) Xét ΔBMK\Delta BMK có AD // KM,AD\,{\rm{//}}\,KM, theo định lí Thalès ta có DMBM=AKBK.\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.

Theo câu a, ta có AKEC=DMMB\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}} nên AKEC=AKBK,\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}}, do đó EC=BK.EC = BK.

Câu 5

1 điểm

Cho tứ giác ABCD.ABCD. Gọi E,F,I  E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}I\; theo thứ tự là trung điểm của AD,  BC,  AC.AD,\,\,BC,\,\,AC. Chứng minh rằng:

a) EI // CDEI\,{\rm{//}}\,CD và IF // AB.IF\,{\rm{//}}\,AB. b) EF≤AB+CD2.EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Xét ΔADC\Delta ADC có E,  IE,\,\,I lần lượt là trung điểm của AD,  ACAD,\,\,AC nên EIEI là đường trung bình của ΔADC.\Delta ADC.

Do đó EI // CDEI\,{\rm{//}}\,CD và EI=CD2.EI = \frac{{C{\rm{D}}}}{2}.

Xét ΔABC\Delta ABC có I,  FI,\,\,F lần lượt là trung điểm của AC,  BCAC,\,\,BC nên IFIF là đường trung bình của ΔABC.\Delta ABC.

Do đó IF // ABIF\,{\rm{//}}\,AB và IF=AB2.IF = \frac{{AB}}{2}.

Hình minh hoạ

b) Trong ΔEIF\Delta EIF ta có: EF≤EI+IFEF \le EI + IF (dấu "=" xảy ra khi E,  I,  FE,\,\,I,\,\,F thẳng hàng)

Mà EI=CD2;  IF=AB2EI = \frac{{C{\rm{D}}}}{2};\,\,IF = \frac{{AB}}{2} (chứng minh ở câu a)

Do đó EF≤AB+CD2.EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.

Vậy EF≤AB+CD2EF \le \frac{{AB + CD}}{2} (dấu bằng xảy ra khi AB // CD).AB\,{\rm{//}}\,CD).

Câu 6

1 điểm

Cho hình thang ABCDABCD có hai đáy ABAB và CD.CD. Gọi MM là trung điểm của CD,CD, EE là giao điểm của MAMA và BD,BD, FF là giao điểm của MBMB và AC.AC.

a) Chứng minh rằng EF // AB.EF\,{\rm{//}}\,AB.

b) Đường thẳng EFEF cắt AD,  BCAD,\,\,BC lần lượt tại HH và N.N. Chứng minh HE=EF=FN.HE = EF = FN.

c) Biết AB=7,5  cm,  CD=12  cm.AB = 7{,}5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}. Tính độ dài HN.HN.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Cho ΔABC\Delta ABC có ADAD là trung tuyến, trọng tâm G,G, đường thẳng đi qua GG cắt các cạnh AB,  ACAB,\,\,AC lần lượt tại E,  F.E,\,\,F. Từ B,  CB,\,\,C kẻ các đường song song với EFEF cắt ADAD lần lượt tại M,  N.M,\,\,N. Chứng minh rằng:

a) BEAE=MGAG.\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.

b) BEAE+CFAF=1.\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.

c) ABAE+ACAF=3.\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Cho tam giác ABCABC có BC=15  cm,  CA=18  cmBC = 15{\rm{\;cm}},\,\,CA = 18{\rm{\;cm}} và AB=12  cm.AB = 12{\rm{\;cm}}. Gọi II và GG lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm ΔABC.\Delta ABC.

a) Chứng minh IG // BC.IG\,{\rm{//}}\,BC.

b) Tính độ dài đoạn thẳng IG.IG.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).

Hình minh hoạ

Một vì kèo mái tôn được vẽ lại như Hình b. Tính độ dài xx của cây chống đứng bên và độ dài yy của cánh kèo.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí BB và EE ở hai bên bờ sông, bác Minh chọn ba vị trí A,F,CA,{\rm{ }}F,{\rm{ }}C cùng nằm ở bên bờ sông sao cho ba điểm C,E,BC,{\rm{ }}E,{\rm{ }}Bthẳng hàng; ba điểm C,F,AC,{\rm{ }}F,{\rm{ }}A thẳng hàng và AB // EF.AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF. Sau đó bác Minh đo được AF=50  m,AF = 50{\rm{ \;m}}, FC=35  mFC = 35{\rm{\;m}} và EC=42  m.EC = 42{\rm{\;m}}. Tính khoảng cách giữa hai vị trí BB và E.E.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm AA đến trường (tại điểm B)B) phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm CC (như hình vẽ).

Hình minh hoạ

Điểm HH là một điểm thuộc đoạn thẳng ABAB sao cho CHCH đường là phân giác ACB^,\widehat {ACB}, AH=0,32  kmAH = 0{,}32{\rm{\;km}} và BH=0,4  km.BH = 0{,}4{\rm{\;km}}. Biết bạn Hải đi xe đạp đến CC lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề cương ôn tập học kì 2 Toán 8 - Cánh diều có đáp án · Các bộ sách Toán Lớp 8