Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ có $AB \bot AC;\,\,IN \bot AC$ nên $AB\,{\rm{//}}\,IN.$

Mà $I$ là trung điểm của $BC$ nên $IN$ là đường trung bình của tam giác, do đó $N$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $ADCI$ có: $N$ là trung điểm của $ID,\,\,AC$ nên $ADCI$ là hình bình hành.

Lại có $IN \bot AC$ hay $ID \bot AC$ nên hình bình hành $ADCI$ là hình thoi.

b) Kẻ $IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),$ mà $I$ là trung điểm của $BC,$ nên $IH$ là đường trung bình của $\Delta BKC.$ Do đó $H$ là trung điểm của $KC$ hay $KH = HC\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta DIH$ có $N$ là trung điểm của $DI$ và $NK\,{\rm{//}}\,IH$ (do $BK\,{\rm{//}}\,IH)$ nên $NK$ là đường trung bình của $\Delta DIH,$ suy ra $K$là trung điểm của $DH$ hay $DK = KH\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $DK = KH = HC.$ Do đó $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

a) Xét $\Delta ABD$ có $DM$ là đường phân giác của $\widehat {ADB}$ nên $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét $\Delta ACD$ có $DN$ là đường phân giác của $\widehat {ADC}$ nên $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{NA}}{{NC}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Mà $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$ (câu a) và $DB = DC$ nên $\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.$

c) Xét $\Delta ABC$ có: $\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ (câu b) nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$(định lí Thalès đảo).

a) Vì $AD\,{\rm{//}}\,KM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {BKM}$ (đồng vị).

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {CAD} = \widehat {CEM}$ (đồng vị).

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.$

Do đó $\widehat {BKM} = \widehat {CEM},$ lại có $\widehat {CEM} = \widehat {AEK}$ nên $\widehat {BKM} = \widehat {AEK}$ hay $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.$

Tam giác $AEK$ có $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}$ nên là tam giác cân tại $A.$

b) Xét $\Delta ACD$ có $EM\,{\rm{//}}\,AD,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.$

Mà $\Delta AEK$ cân tại $A$ nên $AK = AE.$

Lại có điểm $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC.$

Do đó $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) Xét $\Delta BMK$ có $AD\,{\rm{//}}\,KM,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}$ nên $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},$ do đó $EC = BK.$

a) Xét $\Delta ADC$ có $E,\,\,I$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\,AC$ nên $EI$ là đường trung bình của $\Delta ADC.$

Do đó $EI\,{\rm{//}}\,CD$ và $EI = \frac{{C{\rm{D}}}}{2}.$

Xét $\Delta ABC$ có $I,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,BC$ nên $IF$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $IF\,{\rm{//}}\,AB$ và $IF = \frac{{AB}}{2}.$

b) Trong $\Delta EIF$ ta có: $EF \le EI + IF$ (dấu "=" xảy ra khi $E,\,\,I,\,\,F$ thẳng hàng)

Mà $EI = \frac{{C{\rm{D}}}}{2};\,\,IF = \frac{{AB}}{2}$ (chứng minh ở câu a)

Do đó $EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.$

Vậy $EF \le \frac{{AB + CD}}{2}$ (dấu bằng xảy ra khi $AB\,{\rm{//}}\,CD).$

a) Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,DM$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,MC$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả

định lí Thalès ta có $\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.$ $\left( 2 \right)$

Lại có $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC.$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),$ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},$ theo định lí Thalès đảo ta có $EF\,{\rm{//}}\,AB.$

b) Xét $\Delta ADM$ có $HE\,{\rm{//}}\,DM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Xét $\Delta AMC$ có $EF\,{\rm{//}}\,MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Do đó $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},$ mà $DM = MC$ nên $HE = EF.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $EF = FN.$ Suy ra $HE = EF = FN.$

c) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7{,}5}}{6} = \frac{5}{4}.$ Suy ra $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.$

Do đó $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Mà theo câu b, $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Suy ra $HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;cm}}.$

Vậy $HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.$

b) Xét $\Delta DCN$ có $BM\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}.$

Mà $D$ là trung điểm của $BC$ (do $AD$ là trung tuyến của tam giác) nên $DC = DB.$

Do đó $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1,$ nên $DM = DN.$

Suy ra $GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD.$

Lại có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $AG = 2GD.$

Xét $\Delta ACN$ có $FG\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1.$

c) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}.$

Xét $\Delta ACN$ có $FG\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}}$$= \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}$

$= \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}}$$= \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}}$

$= \frac{{2AG + 2 \cdot \frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3.$

Vậy $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.$

a) Gọi $AD$ là đường phân giác góc $BAC$ $\left( {D \in BC} \right).$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},$ hay $\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}.$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{15}}{{18 + 12}} = \frac{1}{2}.$$

Suy ra $CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9{\rm{\;cm}}$ và $BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ACD,$ có $CI$ là đường phân giác của $\widehat {ACD}$ nên $\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{18}}{9} = 2.$

Mặt khác, do $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\frac{{AG}}{{GM}} = 2.$

Do đó $\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2,$ theo định lí Thalès đảo ta có $IG\,{\rm{//}}\,BC.$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó $MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7{,}5{\rm{\;cm}}.$

Suy ra $DM = BM - BD = 7{,}5 - 6 = 1{,}5{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ADM$ có $IG\,{\rm{//}}\,BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{IG}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.$

Suy ra $IG = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3} \cdot 1{,}5 = 1{\rm{\;cm}}.$

Đặt các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P$ như hình vẽ trên.

⦁ Xét $\Delta AMC$ có $E,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,MC$ (do $EA = EC,PM = PC)$ nên $EP$ là đường trung bình của $\Delta AMC.$

Do đó $EP = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 2{,}7 = 1{,}35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay $x = 1{,}35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

⦁ Ta có $MB = MN + NB$ và $MC = MP + PC$

Mà $MN = NB = MP = PC$ nên $MB = MC.$

Xét $\Delta ABC$ có $D,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ (do $DB = DA,MB = MC)$ nên $DM$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $DM = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra $AC = 2DM = 2 \cdot 2{,}8 = 5{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$ Hay $y = 5{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là $x = 1{,}35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right);$ $y = 5{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$

Xét $\Delta ABC$ có $AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{CF}}{{FA}},$ hay $\frac{{42}}{{BE}} = \frac{{35}}{{50}}.$

Suy ra $BE = \frac{{42 \cdot 50}}{{35}} = 60{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Thời gian để bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ là: $6$ giờ $30$ phút $- \,\,6$ giờ $= 30$ phút $= 0{,}5$ giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ trong $0{,}5$ giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: $AC = {S_{A \to C}} = 4 \cdot 0{,}5 = 2$ (km).

Xét $\Delta ACB$ có $CH$ là đường phân giác của $\widehat {ACB},$ nên ta có: $\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}}$ hay $\frac{{0{,}32}}{{0{,}4}} = \frac{2}{{CB}}$ Suy ra $CB = \frac{{0{,}4 \cdot 2}}{{0{,}32}} = 2{,}5$ (km).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường $2{,}5$ km với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: $\frac{{2{,}5}}{{10}} = 0{,}25$ (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ $A$ đến trường $B$ là

$0{,}5 + 0{,}25 = 0{,}75$ (giờ) $= 45$ (phút).