TopStudy

Toán · Lớp 12

Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm
Cho hàm số f(x)=e2x+sin⁡3xf\left( x \right) = {e^{2x}} + \sin 3x. Khẳng định nào dưới đây đúng?
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=e2x−13cos⁡3x+C\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x}} - \frac{1}{3}\cos 3x + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=e2x−cos⁡3x+C\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x}} - \cos 3x + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=e2x2+13sin⁡3x+C\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{3}\sin 3x + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=e2x2−13cos⁡3x+C\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

∫f(x)dx=∫(e2x+sin⁡3x)dx=e2x2−13cos⁡3x+C\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} + \sin 3x} \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C.

Câu 2

1 điểm
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=5xf\left( x \right) = {5^x} là
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=e2x−13cos⁡3x+C\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x}} - \frac{1}{3}\cos 3x + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=5x+C\int {f\left( x \right)} dx = {5^x} + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=5xln⁡5+C\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=5xln⁡5+C\int {f\left( x \right)} dx = {5^x}\ln 5 + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

∫f(x)dx=∫5xdx=5xln⁡5+C\int {f\left( x \right)} dx = \int {{5^x}} dx = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C.

Câu 3

1 điểm
Tính ∫x−2x23+1x4dx\int {\frac{{\sqrt x - 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx}.
  1. Đáp án A: xx4−2xx512+x34+Cx\sqrt[4]{x} - 2x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C.
  2. Đáp án B: 45xx4−2417xx512+43x34+C\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C.
  3. Đáp án C: xx4−2417xx512+x34+Cx\sqrt[4]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C.
  4. Đáp án D: 45xx4−2xx512+43x34+C\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} - 2x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

∫x−2x23+1x4dx=∫x12−2x23+1x14dx=∫(x12x14−2x23x14+1x14)dx\int {\frac{{\sqrt x - 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} - 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx}

=∫(x14−2x512+x−14)dx=45xx4−2417xx512+43x34+C= \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} - 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[4]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C.

Câu 4

1 điểm
Cho hàm số f(x)=1+sin⁡xf\left( x \right) = 1 + \sin x. Khẳng định nào dưới đây đúng?
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=x−cos⁡x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x - \cos x + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=x+sin⁡x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \sin x + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=x+cos⁡x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \cos x + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=cos⁡x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \cos x + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Ta có ∫f(x)dx=∫(1+sin⁡x)dx=∫1dx+∫sin⁡xdx=x−cos⁡x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = x - \cos x + C}.

Câu 5

1 điểm
Tìm họ nguyên hàm của hàm số y=x2−3x+1xy = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.
  1. Đáp án A: x33−3xln⁡3−1x2+C\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C.
  2. Đáp án B: x33−3x+1x2+C\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C.
  3. Đáp án C: x33−3xln⁡3+ln⁡∣x∣+C\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C.
  4. Đáp án D: x33−3xln⁡3−ln⁡∣x∣+C\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln \left| x \right| + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

Ta có: ∫(x2−3x+1x)dx=x33−3xln⁡3+ln⁡∣x∣+C\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C.

Câu 6

1 điểm
Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y=x2022y = {x^{2022}}?
  1. Đáp án A: x20232023+1\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + 1.
  2. Đáp án B: x20232023\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}}.
  3. Đáp án C: y=2022x2021y = 2022{x^{2021}}.
  4. Đáp án D: x20232023−1\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} - 1.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=x2+2x2f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}.
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=x33+1x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=x33−2x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=x33−1x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=x33+2x+C\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=cos⁡x+6xf\left( x \right) = \cos x + 6x là
  1. Đáp án A: sin⁡x+3x2+C\sin x + 3{x^2} + C.
  2. Đáp án B: −sin⁡x+3x2+C- \sin x + 3{x^2} + C.
  3. Đáp án C: sin⁡x+6x2+C\sin x + 6{x^2} + C.
  4. Đáp án D: −sin⁡x+C- \sin x + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Cho hàm số f(x)=∫cos⁡x2sin⁡x2f(x) = \int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}}. Khẳng định nào dưới đây đúng?
  1. Đáp án A: ∫cos⁡x2sin⁡x2=12sin⁡+C\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sin + C.
  2. Đáp án B: ∫cos⁡x2sin⁡x2=12cos⁡x+C\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\cos x + C.
  3. Đáp án C: ∫cos⁡x2sin⁡x2=−12sin⁡x+C\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\sin x + C.
  4. Đáp án D: ∫cos⁡x2sin⁡x2=−12cos⁡x+C\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\cos x + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Cho F(x)F\left( x \right) là một nguyên hàm của f(x)=2x+x+1f\left( x \right) = {2^x} + x + 1. Biết F(0)=1F\left( 0 \right) = 1. Tính F(−1)F\left( { - 1} \right) kết quả là.
  1. Đáp án A: F(−1)=12ln⁡2F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}.
  2. Đáp án B: F(−1)=12−12ln⁡2F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}.
  3. Đáp án C: F(−1)=1+12ln⁡2F\left( { - 1} \right) = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}.
  4. Đáp án D: F(−1)=12−1ln⁡2F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{\ln 2}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm
Cho F(x)F\left( x \right) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=ex+2xf(x) = {e^x} + 2x thỏa mãn F(0)=32F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}. Tìm F(x)F\left( x \right).
  1. Đáp án A: F(x)=ex+x2+12F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.
  2. Đáp án B: F(x)=ex+x2+52F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}.
  3. Đáp án C: F(x)=ex+x2+32F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}.
  4. Đáp án D: F(x)=2ex+x2−12F\left( x \right) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm
Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) thỏa mãn f′(x).f(x)=x4+x2f'\left( x \right).f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}. Biết f(0)=2f\left( 0 \right) = 2. Tính f2(2){f^2}\left( 2 \right).
  1. Đáp án A: f2(2)=31315{f^2}\left( 2 \right) = \frac{{313}}{{15}}.
  2. Đáp án B: f2(2)=33215{f^2}\left( 2 \right) = \frac{{332}}{{15}}.
  3. Đáp án C: f2(2)=32415{f^2}\left( 2 \right) = \frac{{324}}{{15}}.
  4. Đáp án D: f2(2)=32315{f^2}\left( 2 \right) = \frac{{323}}{{15}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm
Tìm nguyên hàm F(x)F\left( x \right) của hàm số f(x)=sin⁡x+cos⁡xf\left( x \right) = \sin x + \cos x thoả mãn F(π2)=2F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2.
  1. Đáp án A: F(x)=−cos⁡x+sin⁡x+3F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 3.
  2. Đáp án B: F(x)=−cos⁡x+sin⁡x−1F\left( x \right) = - \cos x + \sin x - 1.
  3. Đáp án C: F(x)=−cos⁡x+sin⁡x+1F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1.
  4. Đáp án D: F(x)=cos⁡x−sin⁡x+3F\left( x \right) = \cos x - \sin x + 3.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm
Cho hàm số f(x)f\left( x \right) thỏa mãn f′(x)=3−5sin⁡xf'\left( x \right) = 3 - 5\sin x và f(0)=10f\left( 0 \right) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
  1. Đáp án A: f(x)=3x−5cos⁡x+15f\left( x \right) = 3x - 5\cos x + 15 .
  2. Đáp án B: f(x)=3x−5cos⁡x+2f\left( x \right) = 3x - 5\cos x + 2.
  3. Đáp án C: f(x)=3x+5cos⁡x+5f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.
  4. Đáp án D: f(x)=3x+5cos⁡x+2f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm
Hàm số f(x)f\left( x \right) có đạo hàm liên tục trên R\mathbb{R} và: f′(x)=2e2x+1,f'\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} + 1,∀x, f(0)=2\forall x,\,f\left( 0 \right) = 2. Hàm f(x)f\left( x \right) là
  1. Đáp án A: y=2ex+2xy = 2{{\rm{e}}^x} + 2x.
  2. Đáp án B: y=2ex+2y = 2{{\rm{e}}^x} + 2.
  3. Đáp án C: y=e2x+x+2y = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 2.
  4. Đáp án D: y=e2x+x+1y = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 16

1 điểm
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
  • Ý a: ∫2xdx=2xln⁡2+C\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x}\ln 2 + C.
  • Ý b: ∫e2xdx=e2x2+C\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C.
  • Ý c: ∫ex(ex−−1)dx=12e2x+ex+C\int {{e^x}\left( {{e^x}--{\rm{ }}1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C.
  • Ý d: ∫e3x.3xdx=(3e3)x3+ln⁡3+C\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm
Cho hàm số f(x)f\left( x \right) liên tục và không âm trên đoạn [0;3]\left[ {0;3} \right]. F(x)F\left( x \right) là một nguyên hàm của f(x)f\left( x \right) trên đoạn [0;3]\left[ {0;3} \right] thỏa mãn F(3)=2;F(0)=1F\left( 3 \right) = 2;F\left( 0 \right) = 1.
  • Ý a: Hiệu số F(3)−F(0)F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) gọi là tích phân từ 3 đến 0 của hàm số f(x)f\left( x \right).
  • Ý b: ∫03f(x)dx=−∫30f(x)dx=F(3)−F(0)\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right).
  • Ý c: ∫03f(t)dt=1\int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt = 1.
  • Ý d: Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y = f\left( x \right), trục hoành và hai đường thẳng x=0;x=3x = 0;x = 3 có diện tích bằng 1.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Cho hàm số y=f(x)=2x−4y = f\left( x \right) = 2x - 4. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
  • Ý a: ∫−22f(x)dx=0\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 0.
  • Ý b: ∫14f2(x)dx=7\int\limits_1^4 {{f^2}\left( x \right)} dx = 7.
  • Ý c: ∫−25∣f(x)∣dx=3m.5n\int\limits_{ - 2}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = {3^m}{.5^n} với m2+n2=16{m^2} + {n^2} = 16.
  • Ý d: F(a)=∫0af(x)dxF\left( a \right) = \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx đạt giá trị nhỏ nhất khi a=2a = 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm
Cho hàm số f(x)={3x2+2x+m  khi  x≥15−2x                    khi  x<1f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5 - 2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right. (mm là tham số thực) liên tục trên R\mathbb{R}. Biết rằng f(x)f\left( x \right) có nguyên hàm trên R\mathbb{R} là F(x)F\left( x \right) thỏa mãn F(−2)=−10F\left( { - 2} \right) = - 10.
  • Ý a: m=−2m = - 2.
  • Ý b: F(x)={x3+x2−2x+8  khi  x≥15x−x2+4              khi  x<1F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 2x + 8\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + 4\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right..
  • Ý c: F(3)=83F\left( 3 \right) = 83.
  • Ý d: ∫1e2f(ln⁡x)1xdx=3\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx = 3}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 20

1 điểm
Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) liên tục trên đoạn [0;2]\left[ {0;2} \right]. Giả sử y=F(x)y = F\left( x \right) là một nguyên hàm của y=f(x)y = f\left( x \right) và ∫02f(x)dx=3\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 3} và F(0)=2F\left( 0 \right) = 2. Giá trị F(2)F\left( 2 \right) bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm
Cho các hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) và y=g(x)y = g\left( x \right) liên tục trên R\mathbb{R}. Giả sử ∫27[2f(x)+3g(x)]dx=1\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 1 và ∫27[f(x)−2g(x)]dx=4\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4. Khi đó ∫27f(x)dx−3∫72g(x)dx\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)dx} } bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm
Biết ∫0π31−cos⁡2x1+cos⁡2xdx=a3+πb\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}dx} = a\sqrt 3 + \frac{\pi }{b} (a,  b∈Z)\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}} \right). Tính a+ba + b.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề cương ôn tập học kì 2 Toán 12 - Cánh diều có đáp án · Các bộ sách Toán Lớp 12