Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Đáp án đúng là: D

$\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} + \sin 3x} \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{5^x}} dx = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C$.

Đáp án đúng là: B

$$\int {\frac{{\sqrt x - 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} - 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx}$$

$= \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} - 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[4]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = x - \cos x + C}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int {{x^{2022}}{\rm{d}}} x = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C,{\rm{ }}C$là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2022}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\cos x + 6x} \right){\rm{d}}x = \sin x + 3{x^2} + C} }$.

Đáp án đúng là: D

$\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = - \frac{1}{2}\cos x + C$.

Đáp án đúng là: B

$$F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$$

$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$$

$F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}$

$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}$$

$\Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C$.

Theo bài ra ta có: $F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {f'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right){\rm{d}}x} + C$$\Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

Do $f\left( 0 \right) = 2$ nên suy ra $C = 2$.

Vậy ${f^2}\left( 2 \right) = 2\left( {\frac{{32}}{5} + \frac{8}{3} + 2} \right)$$= \frac{{332}}{{15}}$.

Đáp án đúng là: C

Có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = - \cos x + \sin x + C$.

Do $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1$$\Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} = 3x + 5\cos x + C$.

Theo giả thiết $f\left( 0 \right) = 10$ nên $5 + C = 10 \Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int {f'\left( x \right){\rm{d}}} x$$= \int {\left( {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} + 1} \right){\rm{d}}} x$$= {{\rm{e}}^{2x}} + x + C$.

Suy ra $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C$.

Theo bài ra ta có: $f\left( 0 \right) = 2$$\Rightarrow 1 + C = 2$$\Leftrightarrow C = 1$.

Vậy: $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1$.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

b) $\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C$.

c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}--{\rm{ }}1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + C$.

d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Hiệu số $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ gọi là tích phân từ 0 đến 3 của hàm số $f\left( x \right)$.

$\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

b) $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

c) $\int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1$.

d) Có $S = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) $\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} = - 16$.

b) $\int\limits_1^4 {{f^2}\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {{{\left( {2x - 4} \right)}^2}} dx = \left. {\frac{1}{6}{{\left( {2x - 4} \right)}^3}} \right|_1^4 = 12$.

c) $\int\limits_{ - 2}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^5 {\left| {2x - 4} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^5 {\left( {2x - 4} \right)dx} = 16 + 9 = 25 = {3^0}{.5^2}$.

Do đó ${m^2} + {n^2} = 0 + 4 = 4$.

d) $F\left( a \right) = \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^a {\left( {2x - 4} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - 4x} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 4a$$= {\left( {a - 2} \right)^2} - 4 \ge - 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F\left( a \right)$ là $- 4$ khi $a = 2$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$nên $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow m + 5 = 3 \Leftrightarrow m = - 2$.

b) Ta có $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + {C_2}\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

Ta có $F\left( { - 2} \right) = 5.\left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} \Rightarrow {C_2} = - 10 + 14 = 4$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + 2 + {C_1}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {5x - {x^2} + {C_2}} \right) = 4 + {C_2}$.

Ta lại có $F\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ nên

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow m + 2 + {C_1} = 4 + {C_2} \Leftrightarrow {C_1} = 6 - m$.

Mà $m = - 2$ nên ${C_1} = 8$.

Vậy $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 2x + 8\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + 4\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

c) $F\left( 3 \right) = {3^3} + {3^2} - 2.3 + 8 = 38$.

d) $\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx}$$= \int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)d\left( {\ln x} \right)}$$= \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt}$$= \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} }$

$= \int\limits_0^1 {\left( {5 - 2x} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} + 2x - 2} \right)dx} } = 12$.

Trả lời: 5

Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 3} \Rightarrow F\left( 2 \right) = 5$.

Trả lời: −1

Ta có $\{\begin{matrix}\int _{2}^{7}[2f(x)+3g(x)]dx=1 \\ \int _{2}^{7}[f(x)-2g(x)]dx=4\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2\int _{2}^{7}f(x)dx+3\int _{2}^{7}g(x)dx=1 \\ \int _{2}^{7}f(x)dx-2\int _{2}^{7}g(x)dx=4\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\int _{2}^{7}f(x)dx=2 \\ \int _{2}^{7}g(x)dx=-1\end{matrix}$

Do đó $\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)dx} }$$= \int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} } = 2 - 3 = - 1$.

Trả lời: -2

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {\left( {\tan x - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \sqrt 3 } - \frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2$.