Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

Xét số có hình thức $\overline {0bcdef}$.

Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm $X$) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số $1{,}2{,}5$ là: 4!

Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.4! = 48$.

Xét số có hình thức $\overline {abcdef}$ trong đó $a$ được phép bằng 0.

Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm $X$) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số $0{,}1{,}2{,}5$ là: 5!.

Số các số được lập theo hình thức này là $2.5! = 240$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $240 - 48 = 192$.

Hướng dẫn giải

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối $(A,B,C)$ lần lượt là: $C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5$.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756$ (cách).

b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ hoặc khối $A$: có $C_5^2C_{25}^{13}$ cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ và khối $A$ không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối $C,10$ học sinh khối $B$ và 3 học sinh khối A có $C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối $C,9$ học sinh khối $B$ và 4 học sinh khối A có $C_5^2C_{10}^9C_{15}^4$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_5^2C_{25}^{13} - C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_5^2C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950$ (cách).

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là $\overline {abcd}$.

Trường hợp 1: $d = 0$.

Chọn $d$: có 1 cách. Chọn $a(a \ne 0)$: có 5 cách.

Số cách chọn $b,c$ lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là $1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Trường hợp 2: $d \in \{ 2;4\}$.

Chọn $d$: có 2 cách. Chọn $a(a \ne 0,a \ne d)$: có 4 cách.

Số cách chọn $b,c$ lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $60 + 96 = 156$.

Hướng dẫn giải

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\overline {abcd0}$.

Chọn $a(a \ne 0)$: có 9 cách. Chọn $b(b \ne 0,b \ne a)$: có 8 cách.

Số cách chọn $c,d$ lần lượt là 7,6.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.

Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có $A_5^3$ cách.

Theo quy tắc nhân có $6!.A_5^3 = 43200$ cách xếp thỏa yêu cầu.