Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

Xét số có hình thức $\overline {0bcdef}$.

Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm $X$) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số $1{,}2{,}5$ là: 4!

Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.4! = 48$.

Xét số có hình thức $\overline {abcdef}$ trong đó $a$ được phép bằng 0.

Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm $X$) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số $0{,}1{,}2{,}5$ là: 5!.

Số các số được lập theo hình thức này là $2.5! = 240$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $240 - 48 = 192$.

Hướng dẫn giải

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối $(A,B,C)$ lần lượt là: $C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5$.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756$ (cách).

b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ hoặc khối $A$: có $C_5^2C_{25}^{13}$ cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ và khối $A$ không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối $C,10$ học sinh khối $B$ và 3 học sinh khối A có $C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối $C,9$ học sinh khối $B$ và 4 học sinh khối A có $C_5^2C_{10}^9C_{15}^4$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_5^2C_{25}^{13} - C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_5^2C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950$ (cách).

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là $\overline {abcd}$.

Trường hợp 1: $d = 0$.

Chọn $d$: có 1 cách. Chọn $a(a \ne 0)$: có 5 cách.

Số cách chọn $b,c$ lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là $1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Trường hợp 2: $d \in \{ 2;4\}$.

Chọn $d$: có 2 cách. Chọn $a(a \ne 0,a \ne d)$: có 4 cách.

Số cách chọn $b,c$ lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $60 + 96 = 156$.

Hướng dẫn giải

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\overline {abcd0}$.

Chọn $a(a \ne 0)$: có 9 cách. Chọn $b(b \ne 0,b \ne a)$: có 8 cách.

Số cách chọn $c,d$ lần lượt là 7,6.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.

Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có $A_5^3$ cách.

Theo quy tắc nhân có $6!.A_5^3 = 43200$ cách xếp thỏa yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x \in \mathbb{N},x \ge 10$.

Ta có: $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ }}\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có $x = 11$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $n \in \mathbb{N},n \ge 2$.

Ta có: $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n - 1)!}} + 3 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} - 20 < 0$

$\Leftrightarrow n(n + 1) + 3(n - 1)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2}$.

Vì $n \in \mathbb{N},n \ge 2 \Rightarrow n = 2$. Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S = \{ 2\}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$Q = {(xy - 1)^5} = C_5^0{(xy)^5} + C_5^1{(xy)^4}( - 1) + C_5^2{(xy)^3}{( - 1)^2} + C_5^3{(xy)^2}{( - 1)^3} + C_5^4(xy){( - 1)^4} + C_5^5{( - 1)^5}$

$= {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1.$

b) Số hạng có chứa ${x^2}{y^2}$ trong khai triển là $- 10{x^2}{y^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ${(1 - x)^6} = C_6^0 - C_6^1x + C_6^2{x^2} - C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} - C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}\left( * \right)$.

b) Thay $x = 1$ vào $\left( * \right)$, ta được: ${(1 - 1)^6} = C_6^0 - C_6^1 + C_6^2 - C_6^3 + C_6^4 - C_6^5 + C_6^6 = S$. Vậy $S = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4).$

Ta có $\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x = - 40$.

b) Ta có:

$|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}$ $\Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}$.

c) Ta có: $\vec a,\vec b$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b$ không cùng phương.

Ta có: $\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ$.

b) $\vec c$ cùng phương $\vec a$ và $|\vec c| = 3\sqrt 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}} = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l} - 2m - 2n = - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m = - 2\\n = - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}$$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng $\Delta$ cần tìm là: $2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$.

b) Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)$. Do đó $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$

Phương trình đường thẳng $\Delta$: $1\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A.$

Đường cao kẻ từ $A$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( {5;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là

$5x + y - 7 = 0.$

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B.$

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ thì $M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

Đường trung tuyến kẻ từ $B$ nhận $\overrightarrow {MB} = \left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$ là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (1;7)$ và đi qua $B\left( {3;0} \right)$ nên có phương trình là: $x + 7y - 3 = 0$.

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm $M$ của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)$.

Phương trình tổng quát củađường thẳng $d$ song song với ${d_3}$ qua $M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)$ là:

$3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0$$\Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0$.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: $A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$.

Theo giả thiết, ta có:

${\rm{cos}}45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow$$2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B = - 2\end{array} \right.$.

Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là $2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0$ và $1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

a) $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 4t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.$ qua $A\left( { - 5;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {4; - 3} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {3;4} \right)$.

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $3\left( {x + 5} \right) + 4\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0$.

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$.

b) Vì M trên trục $Ox$ nên $M(a;0)$.

Điểm M cách đều hai đường thẳng: ${d_1}:3x + 2y - 6 = 0$ và ${d_3}:3x + 2y + 6 = 0$ nên

$$\begin{array}{l}d(M,{d_1}) = d(M,{d_2}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a - 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 6 = 3a + 6\\3a - 6 = - \left( {3a + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0.\end{array}$$

Vậy $M(0;0)$.

Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm $A = AB \cap AC$ là nghiệm của hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y - 2 = 0}\\{2x + 6y + 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{15}}{4}}\\{y = \frac{{ - 7}}{4}}\end{array} \Rightarrow A\left( {\frac{{15}}{4};\frac{{ - 7}}{4}} \right)} \right.} \right.$ $B \in AB:y = - x + 2 \Rightarrow B\left( {{x_B}; - {x_B} + 2} \right);$ $C \in AC:y = \frac{{ - 2x - 3}}{6} \Rightarrow C\left( {{x_c};\frac{{ - 2{x_c} - 3}}{6}} \right)$

M là trung điểm của $BC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_B} + {x_C} = 2{x_M}}\\{{y_B} + {y_C} = 2{y_M}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_B} + {x_C} = - 2}\\{ - {x_B} + 2 + \frac{{ - 2{x_C} - 3}}{6} = - 2}\end{array}} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2\\6{x_B} + 2{x_C} = 21\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{x_B} = \frac{{25}}{4}\\{x_C} = \frac{{ - 33}}{4}\end{array}\end{array} \Rightarrow B\left( {\frac{{25}}{4};\frac{{ - 17}}{4}} \right),C\left( {\frac{{ - 33}}{4};\frac{9}{4}} \right).} \right.} \right.$