Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Tìm $x$, biết:

(a) $\frac{x}{4} = \frac{{ - 1}}{3}$;

(b) $\frac{{x + 1}}{5} = \frac{3}{4}$.

(c) $\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}$;

(d) $\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}$.

Tìm $x,{\rm{ }}y$ biết:

(a) $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ và $2x + y = 39.$

(b) $\frac{x}{7} = \frac{y}{3}$ và $x - y = 8$.

(c) $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ và x + y = 14.

(d) $5x = 7y$ và $y-x = 10$.

Tìm $x,\,\,y,\,\,z$ biết:

(a) $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}$ và $3x + 7y + z = 144.$

(b) $x:y:z = 3:5:7$ và $5x + y-2z = 40.$

Tính giá trị của biểu thức:

(a) $A = 2{x^2}y - 3xy$ tại $x = - 2$ và $y = 4$.

(b) $B = \left( {2{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x - 1} \right)$ tại $x = - 2$.

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

(a) $A\left( x \right) = 2x - 1$.

(b) $B\left( x \right) = 3 - \frac{5}{6}x$.

(c) $C\left( x \right) = {x^2} - 1$.

(d) $D\left( x \right) = 8{x^3} + 27$.

Tính:

(a) $\left( {{x^2} - 8} \right)\left( {{x^3} + 2x + 4} \right)$;

(b) $\left( {{x^2} - 6x + 8} \right):\left( {x + 3} \right)$;

(c) $\left( {{x^2} - 4x + 3} \right):\left( {x - 3} \right)$;

(d) $\left( {8{x^2} - 6x + 3} \right):\left( {2x + 1} \right)$.

Cho hai đa thức: $f\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 2x - 1$;

$$g\left( x \right) = - {x^5} + 4x - 5{x^3} + 2 = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2.$$

Tìm đa thức $h\left( x \right)$ sao cho:

(a) $f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)$.

(b) $g\left( x \right) + h\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Cho hai đa thức: $f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11$;

$g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)$.

(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Tính tổng $f\left( x \right) + g\left( x \right)$.

(c) Tính hiệu $f\left( x \right) - g\left( x \right)$.

Cho hai đa thức: $M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5$;

$N\left( x \right) = 2x + 3$.

(a) Rút gọn và sắp xếp đa thức $M\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Tính $A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)$ và $B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)$.

(c) Tính nghiệm của $N\left( x \right)$.

(d) Chứng minh $B\left( x \right)$ vô nghiệm.

Cho đa thức: $A\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 2 - {x^3} + 7{x^2} - x$.

(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức$A\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định bậc và hệ số của lũy thừa bậc 0 của đa thức $A\left( x \right)$.

(c) Tính $C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$, biết $B\left( x \right) = - 5 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x$. Tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$.

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số $1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19\,;\,\,20.$ Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

(a) A: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 25".

(b) B: "Số xuất hiện trên thẻ là số thập phân".

(c) E: "Số xuất hiện trên thẻ là số lẻ".

(d) C: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 20 ".

(e) F: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 4".

(f) D: "Số xuất hiện trên thẻ lớn hơn 17 ".

(g) G: "Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố".

(h) H: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia cho 3 dư 2".

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 1 lần.

(a) Viết tập hợp A gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2".

(b) Nêu các kết quả thuận lợi của biến cố gieo được mặt 5 chấm. Xác suất của biến cố gieo được mặt 5 chấm bằng bao nhiêu?

(c) Tính xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố.

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp $\left\{ {2;3;5;7;8;9;10} \right\}$. Tính xác suất của biến cố:

(a) A: “Số được chọn là số nguyên tố”.

(b) B: “Số được chọn chia hết cho 2 và 5”.

Trong một hộp bút bi có $10$ bút bi, trong đó có 5 chiếc màu đen, 3 chiếc màu xanh và 2 chiếc màu đỏ. Không nhìn mà lấy ngẫu nhiên một chiếc từ trong hộp bút.

(a) Tính xác suất để lấy ra được chiếc bút màu xanh.

(b) Tính xác suất để lấy ra chiếc bút màu đỏ.

Trong hộp có $15$ thẻ gồm 5 thẻ có hình ngôi sao, 8 thẻ có hình vuông và 7 thẻ có hình bông hoa. Rút ngẫu nhiên một thẻ bất kì trong hộp.

a) Tính xác suất cho biến cố “Thẻ rút ra là hình bông hoa”.

b) Tính xác suất cho biến cố “Thẻ rút ra là hình vuông”.

c) Tính xác suất cho biến cố “Thé rút ra có hình không phải là hình ngôi sao”.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $BD,{\rm{ }}CE$ cắt nhau ở $H$, $AH$ cắt $BC$ tại $M.$ Chứng minh rằng:

(a) Biết $AM \bot BC.$ Chứng minh $\widehat {BAM} = \widehat {ECB}$.

(b) Lấy điểm $K$ sao cho $AB$ là trung trực của $HK$. Chứng minh rằng $\widehat {KAB} = \widehat {KCB}$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường phân giác $BD{\rm{ }}(D \in AC).$ Từ $D$ kẻ $DH \bot BC.$

(a) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta HBD.$

(b) So sánh $AD$ và $DC.$

(c) Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và $DH,{\rm{ }}I$ là trung điểm của $KC.$ Chứng minh ba điểm $B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$. Hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$ và $AD = BE$$\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)$. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

(b) Đường thẳng $CH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

(c) $DE$ song song với $AB$.

Cho $\Delta ABC$ có ba đường trung tuyến $AD,\,\,BE,\,\,CF$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh rằng:

(a) $AD < \frac{{AB + AC}}{2}$.

(b) $BE + CF > \frac{3}{2}BC$.

(c) $\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} > \widehat {ACB},$ trung tuyến $AM$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $D$ sao cho $C$ là trung điểm của $MD$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA.$ Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA$.

(a) Chứng minh $\Delta AMB = \Delta NMC$ và $CN \bot CA$.

(b) Gọi $I$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh ba điểm $A,\,\,M,\,\,I$ thẳng hàng.

(c*) So sánh $AD$ và $BC$.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $D$ trên cạnh $AC$, điểm $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $BD = CE$.

(a) Chứng minh $AD = AE$ và $\Delta ABE = \Delta ACD$.

(b) Chứng minh $\Delta ABI = \Delta ACI$, từ đó suy ra $AI$ là đường phân giác của góc $BAC$.

(c) Tìm vị trí của hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = DE = EC$. Khi đó tìm vị trí của điểm $I$.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ $AH \bot BC$ tại $H$.

(a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC$, từ đó suy ra $H$ là trung điểm của $BC$.

(b) Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $E$ sao cho $AB = BE$. Gọi $I$ là trung điểm của $EC,$$BC$ cắt $AI$ tại $M$. Chứng minh $2BH = 3BM$ và tính độ dài $BM$ biết $BC = 6\,\,{\rm{cm}}$.

(c) Chứng minh $AB + AC > 6HM$.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC$. Gọi $O$ là giao điểm các đường trung trực của tam giác $ABC.$ Trên tia đối của tia $MO$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MO$. Trên tia đối của tia $NO$ lấy điểm $F$ sao cho $NF = NO$. Trên tia đối của tia $PO$ lấy điểm $E$ sao cho $PE = PO$.

(a) Chứng minh $\Delta ANO = \Delta BNF$, từ đó suy ra $AO = BF$ và $AO\,{\rm{//}}\,BF$.

(b) Chứng minh hình lục giác $AFBDCE$ có 6 cạnh bằng nhau.

(c) Chứng minh $\Delta ABC{\rm{ = }}\Delta DEF$.

Một hộp quà hình hộp chữ nhật $AEDC.MNFB$ có $CF = 12\,\,{\rm{cm}}\,;$ $MN = 10\,\,{\rm{cm}}\,;$$MB = 8\,\,{\rm{cm}}$. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp quà này.

Một hộp sữa hình hộp chữ nhật có kích thước chiều dài là $10{\rm{ cm,}}$ chiều rộng là ${\rm{5 cm}}$ và chiều cao là ${\rm{22 cm}}$ có thể tích thực là 1 lít.

(a) Tính chiều cao của lượng sữa trong hộp sữa đó.

(b) Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm vỏ hộp sữa (coi như phần mép hộp không đáng kể).

Một căn phòng rộng ${\rm{4 m,}}$ dài ${\rm{6 m,}}$ cao ${\rm{2{,}5 m}}{\rm{.}}$ Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường. Biết tổng diện tích các cửa bằng $12\%$ tổng diện tích bốn bức tường và trần nhà.

(a) Tính diện tích cần quét vôi.

(b) Biết chi phí mỗi m$^{2}$ quét vôi là $50{\rm{ 000}}$ đồng. Tính số tiền phải trả để quét vôi căn phòng đó.

Một chiếc bánh ngọt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với các kích thước như hình vẽ:

(a) Tính thể tích chiếc bánh.

(b) Nếu phải làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật bằng giấy cứng có chiều dài $9{\rm{ cm,}}$ rộng $4{\rm{ cm}}$ và cao $6{\rm{ cm}}$ để đựng chiếc bánh cần dùng bao nhiêu cm$^{2}$ giấy cứng (coi mép dán không đáng kể).

Cho $\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}$ $\left( {a,\,\,c \ne 0\,;\,\,a \ne b\,;\,\,b \ne c} \right)$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}$.

(a) Tìm $x\,,\,\,y$ biết: $\left| {x - 2023y} \right| + {\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0$.

(b) Tính giá trị của $P\left( x \right) = 3{x^3} + 4{x^2} - 8x + 1$, biết ${x^2} + x - 3 = 0$.