Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

a) $\frac{x}{4} = \frac{{ - 1}}{3}$

$$3x = - 4$$

$x = \frac{{ - 4}}{3}$.

Vậy $x = \frac{{ - 4}}{3}$.

b) $\frac{{x + 1}}{5} = \frac{3}{4}$

Suy ra $4\left( {x + 10} \right) = 5 \cdot 3$

$$4x + 40 = 15$$

$$4x = --25$$

$x = - \frac{{25}}{4}$

Vậy $x = - \frac{{25}}{4}$.

c) $\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}$

$9\left( {2x + 1} \right) = 6\left( {3 - x} \right)$

$18x + 9 = 18 - 6x$

$18x + 6x = 18 - 9$

$24x = 9$

$x = \frac{3}{8}$.

Vậy $x = \frac{3}{8}$.

d) $\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}$

$- 5\left( {2 - x} \right) = 4\left( {x - 3} \right)$

$- 10 + 5x = 4x - 12$

$5x - 4x = - 12 + 10$

$x = - 2$

Vậy $x = - 2$.

a) Ta có $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ suy ra $\frac{x}{4} = \frac{y}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{2x + y}}{{4.2 + 5}} = \frac{{39}}{{13}} = 3$.

Suy ra $x = 4 \cdot 3 = 12\,;{\rm{ }}y = 5 \cdot 3 = 15.$

Vậy $x = 12$ và $y = 15$.

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{x - y}}{{7 - 3}} = \frac{8}{4} = 2$.

Suy ra $x = 2 \cdot 7 = 14\,;\,\,y = 2 \cdot 3 = 6$.

Vậy $x = 14\,,\,\,y = 6.$

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x + y}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2$.

Suy ra $x = 3 \cdot 2 = 6$; $y = 4 \cdot 2 = 8$.

Vậy $x = 6\,,\,\,y = 8.$

d) Ta có $5x = 7y$ suy ra $\frac{x}{7} = \frac{y}{5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{5} = \frac{{y - x}}{{5 - 7}} = \frac{{10}}{{ - 2}} = - 5$.

Suy ra $x = 7 \cdot \left( { - 5} \right) = - 35$; $y = 5 \cdot \left( { - 5} \right) = - 25$.

Vậy $x = - 35\,,\,\,y = - 25.$

a) Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = k$.

Suy ra $x = 3k\,,\,\,y = 5k\,,\,\,z = 4k.$

Ta có: $3x + 7y + z = 144.$

$$3.3k + 7.5k + 4k = 144$$

$$9k + 35k + 4k = 144$$

$$48k = 144$$

$k = 3$.

Khi đó $x = 3 \cdot 3 = 9$; $y = 5 \cdot 3 = 15\,;$$z = 4 \cdot 3 = 12.$

Vậy $x = 9$; $y = 15\,;$ $z = 12.$

b) Ta có $x:y:z = 3:5:7$ suy ra $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{y}{5} = \frac{{2z}}{{16}}$$= \frac{{5x + y - 2z}}{{15 + 5 - 16}} = \frac{{40}}{4} = 10$.

Khi đó $x = 10 \cdot 3 = 30$; $y = 10 \cdot 5 = 50\,;$$z = 10 \cdot 8 = 80.$

Vậy $x = 30\,,y = 50\,,\,\,z = 80$.

Gọi $x\,,\,\,y\,,\,\,z$ lần lượt là số cây mà ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được $\left( {x\,,\,\,y\,,\,\,z \in \mathbb{N}*} \right)$.

Vì số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt tỉ lệ với $6\,;\,\,4\,;\,\,5$ nên ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$.

Vì tổng số cây của hai lớp 7A, 7B trồng được nhiều hơn lớp 7C là 50 cây nên $x + y - z = 50$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{50}}{5} = 10$.

Do đó:

• $\frac{x}{6} = 10$ nên $x = 60$ (thỏa mãn)

• $\frac{y}{4} = 10$ nên $y = 40$ (thỏa mãn)

• $\frac{z}{5} = 10$ nên $z = 50$ (thỏa mãn)

Vậy số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $60$ cây, $40$ cây, $50$ cây.

Gọi số tiền ba bạn Tùng, Huy và Minh nhận được lần lượt là $x\,,\,\,y\,,\,\,z{\rm{ }}\left( {x\,,\,\,y\,,\,\,z > 0} \right)$ (triệu đồng).

Vì tổng số tiền 3 bạn nhận được khi bán hết chậu hoa là $1{,}5$ triệu đồng nên $x + y + z = 1{,}5$.

Vì số tiền mỗi bạn nhận được tỉ lệ với số chậu hoa trồng được nên ta có: $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 4 + 5}} = \frac{{1{,}5}}{{15}} = 0{,}1$.

Do đó, $\frac{x}{6} = 0{,}1$ suy ra $x = 0{,}1 \cdot 6 = 0{,}6$ (thỏa mãn)

$\frac{y}{4} = 0{,}1$ suy ra $y = 0{,}1 \cdot 4 = 0{,}4$ (thỏa mãn)

$\frac{z}{5} = 0{,}1$ suy ra $y = 0{,}1 \cdot 5 = 0{,}5$ (thỏa mãn).

Vậy số tiền bạn Tùng, Huy và Minh nhận được lần lượt là: $0{,}6$ triệu đồng; $0{,}4$ triệu đồng; $0{,}5$ triệu đồng.

Gọi số quần áo mà mỗi xưởng A, B, C phải may lần lượt là $x,y,z$$\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Theo đề, ba xưởng cần may $720$ bộ quần áo nên ta có: $x + y + x = 720$ (bộ)

Số bộ quần áo mỗi xưởng phải may tỉ lệ thuận với số công nhân mỗi xưởng.

Do đó, ta có: $\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{11}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{11}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 11 + 13}} = \frac{{720}}{{36}} = 20$

Do đó, $\frac{x}{{12}} = 20$ nên $x = 240.$

• $\frac{y}{{13}} = 20$ nên $y = 13.20 = 260$.

• $\frac{z}{{11}} = 20$ nên $z = 220$.

Vậy số bộ quần áo mà mỗi xưởng A, B, C cần may lần lượt là 240 bộ, 260 bộ và 220 bộ.

a) Thay $x = - 2$ và $y = 4$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot 4 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 4 = 32 + 24 = 56$.

b) Ta có $B = \left( {2{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x - 1} \right) = {x^2} - 4x$.

Thay $x = - 2$ vào biểu thức $B$, ta được:

$B = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = 4 + 8 = 12$.

a) Để $x$ là nghiệm của đa thức $A\left( x \right)$ thì $2x - 1 = 0$ hay $x = \frac{1}{2}$.

Vậy $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm của đa thức $A\left( x \right)$.

b) Để $x$ là nghiệm của đa thức $B\left( x \right)$ thì $3 - \frac{5}{6}x = 0$ nên $\frac{5}{6}x = 3$ hay $x = \frac{{18}}{5}$.

Vậy $x = \frac{{18}}{5}$ là nghiệm của đa thức $B\left( x \right)$.

c) Để $x$ là nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ thì ${x^2} - 1 = 0$ nên ${x^2} = 1$ hay $x = \pm 1$.

Vậy $x = \pm 1$ là nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$.

d) Để $x$ là nghiệm của đa thức $D\left( x \right)$ thì $8{x^3} + 27 = 0$ nên ${x^3} = \frac{{ - 27}}{8}$ nên $x = - \frac{3}{2}$.

Vậy $x = - \frac{3}{2}$ là nghiệm của đa thức $D\left( x \right)$.

a) Ta có: $\left( {{x^2} - 8} \right)\left( {{x^3} + 2x + 4} \right) = {x^5} + 2{x^3} + 4{x^2} - 8{x^3} - 16x - 32$

$= {x^5} - 6{x^3} + 4{x^2} - 16x - 32$.

b) Thực hiện phép chia, ta có:

Vậy $\left( {{x^2} - 6x + 8} \right):\left( {x + 3} \right) = x - 9$ dư $35$.

c) Thực hiện phép chia, ta có:

Vậy $\left( {{x^2} - 4x + 3} \right):\left( {x - 3} \right) = x - 1$.

d) Thực hiện phép chia, ta có:

Vậy $\left( {8{x^2} - 6x + 3} \right):\left( {2x + 1} \right) = 4x - 5$ dư 8.

Ta có $g\left( x \right) = - {x^5} + 4x - 5{x^3} + 2 = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2$.

a) Theo đề bài, $f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)$.

Suy ra $h\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)$

$$= \left( { - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2} \right) - \left( {{x^5} - 3{x^3} + 2x - 1} \right)$$

$$= - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2 - {x^5} + 3{x^3} - 2x + 1$$

$$= \left( { - {x^5} - {x^5}} \right) + \left( {3{x^3} - 5{x^3}} \right) + \left( {4x - 2x} \right) + \left( {2 + 1} \right)$$

$= - 2{x^5} - 2{x^3} + 2x + 3$.

Vậy $h\left( x \right) = - 2{x^5} - 2{x^3} + 2x + 3$.

b) Theo đề bài, $g\left( x \right) + h\left( x \right) = f\left( x \right)$

Suy ra $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$

$$= \left( {{x^5} - 3{x^3} + 2x - 1} \right) - \left( { - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2} \right)$$

$$= {x^5} - 3{x^3} + 2x - 1 + {x^5} + 5{x^3} - 4x - 2$$

$$= \left( {{x^5} + {x^5}} \right) + \left( {5{x^3} - 3{x^3}} \right) + \left( {2x - 4x} \right) - \left( {1 + 2} \right)$$

$= 2{x^5} + 2{x^3} - 2x - 3$.

Vậy $h\left( x \right) = 2{x^5} + 2{x^3} - 2x - 3.$

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến:

• $f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11$

$$= \left( {3 - 1} \right){x^3} + 2{x^2} + 5x - 4 + 11$$

$= 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7$.

• $g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)$

$$= {x^2} + 4 - 3{x^2} - 3{x^2} + 7{x^3} + 1$$

$$= 7{x^3} + (1 - 3 - 3){x^2} + 4 + 1$$

$= 7{x^3} - 5{x^2} + 5$.

b) Ta có $f\left( x \right) + g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) + \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)$

$$= 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 + 7{x^3} - 5{x^2} + 5$$

$$= \left( {2 + 7} \right){x^3} + \left( {2 - 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 + 5} \right)$$

$= 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12$.

Vậy $f\left( x \right) + g\left( x \right) = 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12$.

c) Ta có $f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) - \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)$

$$= 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 - 7{x^3} + 5{x^2} - 5$$

$$= \left( {2 - 7} \right){x^3} + \left( {2 + 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 - 5} \right)$$

$= - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2$.

Vậy $f\left( x \right) - g\left( x \right) = - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2$.

a) Rút gọn và sắp xếp đa thức $M\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

$M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5$

$= \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5$

$= - {x^4} - {x^2} + 2x - 5$.

Vậy $M\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5$.

b) • $A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)$

$= - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3$

$$= - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)$$

$= - {x^4} - {x^2} + 4x - 2$.

• $B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)$

$$= 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5$$

$= {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right) = {x^4} + {x^2} + 8$.

Vậy $A\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2$; $B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8$.

c) Nghiệm của đa thức $N\left( x \right)$ là

$2x + 3 = 0$

$2x = - 3$

$x = - \frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của đa thức $N\left( x \right)$ là $x = - \frac{3}{2}$.

d) Ta có $B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8 = {x^4} + 2 \cdot \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{4} + \frac{{31}}{4}$

$= {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0{\kern 1pt} \,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó $B\left( x \right)$ vô nghiệm.

a) Ta có: $A\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 2 - {x^3} + 7{x^2} - x$

$$A\left( x \right) = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {5{x^2} + 7{x^2}} \right) - x + 2$$

$$A\left( x \right) = 12{x^2} - x + 2$$

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có bậc là 2 và hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2.

c) Ta có: $C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$ với $B\left( x \right) = - 5 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x$.

Do đó, $C\left( x \right) = 12{x^2} - x + 2 - 5 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x$

$$C\left( x \right) = \left( {12{x^2} - 12{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - x + 3x} \right) + 2 - 5 + 3$$

$C\left( x \right) = - {x^2} + 2x$.

Cho $C\left( x \right) = 0$, do đó $- {x^2} + 2x = 0$ hay $x\left( { - x + 2} \right) = 0$.

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2.$

a) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số nhỏ nhỏ hơn 25.

Do đó, xác suất của biến cố A là $100\%$.

b) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số tự nhiên hay không có thẻ nào ghi số thập phân.

Do đó, xác suất của biến cố B là $0\%$.

c) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 19 thẻ ghi số nhỏ hơn 20 gồm $\left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19} \right\}.$

Do đó, xác suất của biến cố C là $\frac{{19}}{{20}}$.

d) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 3 thẻ ghi số lớn hơn 17 gồm $\left\{ {18\,;\,\,19\,;\,\,20} \right\}.$

Do đó, xác suất của biến cố D là $\frac{3}{{20}}$.

e) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 10 thẻ ghi số chẵn và 10 thẻ ghi số lẻ.

Do đó, xác suất của biến cố E là $50\%$.

g) Trong 20 thẻ trong hộp có các số chia hết cho 4 là $4\,;\,\,8\,;\,\,12\,;\,\,16\,;\,\,20$.

Xác suất số chia hết cho 4 là $\frac{5}{{20}}$.

h) Các số nguyên tố trên thẻ là $2\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,13\,;\,\,17\,;\,\,19$;

Xác suất xuất hiện số nguyên tố là $\frac{7}{{20}}$;

Xác suất xuất hiện là $\frac{7}{{20}}$.

a) Tập hợp $A$ gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2" là $A = \left\{ {2\,;\,\,5} \right\}$.

b) Xác xuất giao được mặt 5 chấm là $\frac{1}{6}$.

c) Số nguyên tố xuất hiện ở trên mặt con xúc xắc là $2\,;\,\,3\,;\,\,5.$

Xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số được chọn là số nguyên tố” là:

$\left\{ {2;3;5;7} \right\}$. Do đó, có 4 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố này là: $\frac{4}{7}.$

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Số được chọn là số chia hết cho 2 và 5” là: $10$.

Do đó, có 1 kết quả thuận lợi.

Vậy, xác suất cho biến cố này là: $\frac{1}{7}.$

a) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu xanh là: $\frac{3}{{10}}.$

b) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu đỏ là: $\frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.$

(a) Xác suất của biến cố “Thẻ được ra là hình bông hoa” là $\frac{2}{{15}}.$

(b) Xác suất của biến cố “Thẻ được rút ra là hình vuông” là $\frac{8}{{15}}.$

(c) Biến cố “Thẻ được rút ra không phải hình ngôi sao” tức là thẻ được rút ra có hình bông hoa hoặc hình vuông.

Do đó, xác suất của biến cố này là: $\frac{8}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$

a) Theo giả thiết, ta có $CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC$ nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Suy ra $AH \bot BC$ hay $AM \bot BC$

Xét tam giác $BAM$ ta có

$\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}$$180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,(1)$

Xét tam giác $BCE$ ta có

$\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}$$= 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,(2)$

Từ $(1),\,\,(2)$ suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {ECB}$.

b) Xét hai tam giác vuông $AKE$ và $AHE$ có

$EK = EH$, $AE$ là cạnh chung.

Do đó $\Delta AKE = \Delta AHE$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra $\widehat {KAE} = \widehat {HAE}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {HAE} = \widehat {KCB}$ (câu a) nên $\widehat {KAB} = \widehat {KCB}$.

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ$

$BD$ là cạnh chung

$\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$ (do $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta ABD = \Delta HBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ $\Delta ABD = \Delta HBD$ (câu a) suy ra $AD = HD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta DHC$ vuông tại $H$ có $DC$ là cạnh huyền nên $DC$ là cạnh lớn nhất.

Do đó $DC > HD$ nên $DC > AD.$

c) Xét $\Delta BKC$ có $CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC$ và $CA$ cắt $KH$ tại $D.$

Do đó $D$ là trực tâm của $\Delta BKC$, nên $BD \bot KC$. (1)

Gọi $J$ là giao điểm của $BD$ và $KC.$

Xét $\Delta BKJ$ và $\Delta BCJ$ có:

$\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ$,

$BJ$ là cạnh chung,

$\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}$ (do $BJ$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta BKJ = \Delta BCJ$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $KJ = CJ$ (hai cạnh tương ứng).

Hay $J$ là trung điểm của $KC.$

Mà theo bài $I$ là trung điểm của $KC$ nên I và $J$ trùng nhau.

Do đó ba điểm $B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I$ thẳng hàng.

a) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta BED$ có

$AD = BE$ (gt)

$\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ$

Cạnh $AB$ chung

Do đó $\Delta ADE = \Delta BED$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat {EAB} = \widehat {ABD}$ (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$.

b) Vì tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $CA = CB$.

Suy ra $C$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Vì $\Delta ADE = \Delta BED$ (cmt) nên $\widehat {EBA} = \widehat {DAB}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác $HAB$ cân tại $H$nên $HA = HB$.

Do đó $H$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Vậy đường thẳng $CH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

c) Tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}$.

Ta có $AE = BD$ (vì $\Delta ADE = \Delta BED$).

Suy ra $CA - AE = CB - BD$ nên $CE = CD$.

Do đó tam giác $CED$ cân tại $C$ nên $\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}$.

Suy ra $\widehat {CAB} = \widehat {CED}$

Mà $\widehat {CAB}$ và $\widehat {CED}$ ở vị trí đồng vị nên $ED\,{\rm{//}}\,BA.$

a) Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $H$ sao cho $DA = DH$.

• Xét $\Delta ADB$ và $\Delta HDC$ có

$BD = CD$ ($D$ là trung điểm của $BC$)

$\widehat {ADB} = \widehat {HDC}$ (đối đỉnh)

$AD = HD$ (cách dựng)

Do đó $\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra $AB = HC$ (hai cạnh tương ứng).

• Xét $\Delta ACH$ có $AC + HC > AH$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra $AC + AB > 2AD$ hay $AD < \frac{{AB + AC}}{2}$.

b) Ta có $AD,\,\,BE,\,\,CF$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Suy ra $BG = \frac{2}{3}BE\,,\,\,CG = \frac{2}{3}CF\,,\,\,AG = \frac{2}{3}AD$.

Xét $\Delta BGC$ có $BG + CG > BC$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC$ hay $BE + CF > \frac{3}{2}BC.$

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác $AGB\,,\,\,AGC\,,\,\,BGC$:

• Xét $\Delta AGB$ có $AG + BG > AB$. (1)

• Xét $\Delta AGC$ có $AG + CG > AC$. (2)

• Xét $\Delta BGC$ có $BG + CG > BC$. (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

$$AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC$$

$$2AG + 2BG + 2CG > AB + AC + BC$$

$$\frac{4}{3}AD + \frac{4}{3}BE + \frac{4}{3}CF > AB + AC + BC$$

$\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF$.

Theo câu a) ta có $AD < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Chứng minh tương tự, ta có: $BE < \frac{{AB + BC}}{2}\,;\,\,CF < \frac{{BC + AC}}{2}$.

Suy ra $AD + BE + CF > \frac{{AB + AC}}{2} + \frac{{AB + BC}}{2} + \frac{{BC + AC}}{2}$.

Do đó $AD + BE + CF < AB + BC + AC$.

Vậy $\,\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC$.

a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta NMC$ có

$MC = MB$ (gt)

$\widehat {AMB} = \widehat {NMC}$ (hai góc đối đỉnh)

$MA = MN$ (gt)

Do đó $\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}$

Suy ra $\widehat {MAB} = \widehat {MNC}$ (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong $CN\,{\rm{//}}\,AB$.

Mà $BA \bot CA$ nên $CN \bot CA$.

b) Vì $B$ là trung điểm của $AE$ nên $DB$ là đường trung tuyến của $\Delta DAE$.

Ta có $DC = CM,\,\,CM = MB$ nên $DM = \frac{2}{3}DB$.

Do đó $M$ là trọng tâm của $\Delta DAE$

Vì $I$ là trung điểm của $DE$ nên $AI$ là đường trung tuyến của $\Delta DAE$.

Mà $M \in AI$ nên ba điểm $A,\,\,M,\,\,I$ thẳng hàng.

c*) Vì $\Delta AMB = \Delta NMC$ (cmt) nên $AB = NC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACN$ và $\Delta CAB$ có

Cạnh $CA$ chung ; $\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ$, $CN = AB$ (cmt)

Do đó $\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$

Suy ra $AN = BC$ (hai cạnh tương ứng)

Nên $\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC$ hay $AM = MC = MB$.

Do đó $\Delta AMC$ và $\Delta AMB$ cân tại $M.$

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• $\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}$

• $\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}$

• $\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}$

Vì $\widehat {ACB} < \widehat {ABC}$ nên $\widehat {AMB} < \widehat {AMC}$.

Mà $\widehat {AMB}$ và $\widehat {AMC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AMC}$ là góc tù.

Xét $\Delta AMB$ có $\widehat {AMD}$ là góc tù nên $\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.$

Suy ra $AD > MD$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Lại có $MB = MC = CD$ nên $MB + MC = MC + CD$.

Do đó $BC = MD$ (đpcm).

a) Ta có $AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$) và $BD = CE$ (giả thiết)

Suy ra $AB - BD = AC - CE$ hay $AD = AE$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có:

$AB = AC$ (chứng minh trên);

$\widehat {BAC}$ là góc chung;

$AD = AE$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

b) Từ $\Delta ABE = \Delta ACD$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Suy ra $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$