Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình có đáp án

Giả sử mũi tên ban đầu là mũi tên đánh số 1.

⦁ Gọi A là một điểm trên hình mũi tên 1 và $\overrightarrow{u}$ có phương song song với trục đối xứng của hình mũi tên 1, độ dài của $\overrightarrow{u}$ bằng độ dài từ điểm đầu tới điểm cuối của mũi tên 1 (hình vẽ).

Lấy điểm A’ sao cho $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó điểm A’ là một điểm trên hình mũi tên 2 có vị trí tương ứng với điểm A trên hình mũi tên 1.

Tương tự, với mỗi điểm M bất kì trên hình mũi tên 1, ta lấy điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{'}}=\overrightarrow{u}$ thì từ hình mũi tên 1 là tập hợp điểm M, ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình mũi tên 2.

⦁ Gọi A’’ là một điểm trên hình mũi tên 3 có vị trí tương ứng với điểm A trên hình mũi tên 1.

Giả sử $\overrightarrow{v}$ là vectơ có phương vuông góc với trục đối xứng của hình mũi tên 1, độ dài bằng độ dài từ điểm A đến điểm A’’ (hình vẽ).

Tức là, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A{{A}^{'}}^{'}}$.

Gọi B là một điểm trên hình mũi tên 1.

Lấy điểm B’ sao cho $\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{v}$.

Khi đó điểm B’ là một điểm trên hình mũi tên 3 có vị trí tương ứng với điểm B trên hình mũi tên 1.

Tương tự, với mỗi điểm M bất kì trên hình mũi tên 1, ta lấy điểm M’’ sao cho $\overrightarrow{M{{M}^{'}}^{'}}=\overrightarrow{v}$ thì từ hình mũi tên 1 là tập hợp điểm M, ta được tập hợp các điểm M’’ tạo thành hình mũi tên 3.

⦁ Gọi O là một điểm trên hình mũi tên 1 (hình vẽ).

Lấy điểm A’’’ đối xứng với A qua O.

Khi đó điểm A’’’ là một điểm trên hình mũi tên 4 có vị trí tương ứng với điểm A trên hình mũi tên 1.

Tương tự, với mỗi điểm M bất kì trên hình mũi tên 1, ta lấy điểm M’’’ đối xứng với M qua O thì từ hình mũi tên 1 là tập hợp điểm M, ta được tập hợp các điểm M’’’ tạo thành hình mũi tên 4.

⦁ Tương tự trường hợp chứng minh từ hình mũi tên 1 thành hình mũi tên 2, ta chứng minh được trường hợp từ hình mũi tên 4 thành hình mũi tên 5.

⦁ Tương tự trường hợp chứng minh từ hình mũi tên 1 thành hình mũi tên 3, ta chứng minh được trường hợp từ hình mũi tên 4 thành hình mũi tên 6.

• Tương tự như vậy với tất cả các hình mũi tên khác.

Vậy hai phép biến đổi hình học cần tìm là phép biến đổi theo vectơ $\overrightarrow{u}$ có phương song song với trục đối xứng, độ dài bằng độ dài từ điểm đầu tới điểm cuối của mũi tên ban đầu và phép biến đổi lấy điểm đối xứng qua một điểm.

Giả sử chọn ba điểm A, B, C như hình vẽ dưới đây. Khi đó hình chiếu vuông góc A’, B’, C’ của chúng trên d được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

⦁ Theo đề, ta có f(M) = M’, với tọa độ M(x; y), M’(–3x; 3y).

Ta thấy f là một quy tắc sao cho: ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

⦁ Gọi A’ là ảnh của điểm A(–1; 2) qua phép biến hình f.

Ta có x$_{A’}$ = –3x$_{A}$ = –3.(–1) = 3 và y$_{A’}$ = 3y$_{A}$ = 3.2 = 6.

Vậy ảnh của điểm A(–1; 2) qua phép biến hình f là điểm A’(3; 6).

⦁ Với hai điểm M, N khác O, ta đặt M’ = h(M) và N’ = h(N) với O là trung điểm của MM’ và O cũng là trung điểm của NN’.

Suy ra tứ giác MNM’N’ là hình bình hành.

Do đó MN = M’N’ (1)

⦁ Với M trùng O, ta có O = h(M).

Suy ra MO = 0 (2)

Từ (1), (2), ta thu được h là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy h là một phép dời hình.