Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{1{,}2}}{x} = \frac{5}{2}$ nên $x = \frac{{2.1{,}2}}{5} = 0{,}48$. Vậy $x = 0{,}48$.

b) $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ và $x + y = 10$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Suy ra $x = 3.2 = 6;{\rm{ }}y = 2.2 = 4$.

Vậy $x = 6;y = 4.$

c) $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$ và $y + z = 80$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{y + z}}{{4 + 6}} = \frac{{80}}{{10}} = 8$.

Suy ra $x = 3.8 = 24;{\rm{ }}y = 4.8 = 32;{\rm{ }}z = 6.8 = 48$.

Vậy $x = 24;{\rm{ }}y = 32;{\rm{ }}z = 48.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x,y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và từ bảng trên nhận thấy khi $x = 5$ thì $y = 8$.

Do đó, hệ số tỉ lệ của hai đại lượng trên là: $a = x.y = 5.8 = 40$.

b) Với hệ số tỉ lệ $a = 40$ ta được bảng sau:

Hướng dẫn giải

***3.1.* **Ta có số vòi nước và thời gian chảy đầy bể là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số vòi nước cùng kích thước để sau 5 giờ thì đầy bể là $x$ $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Theo đề, ta có: $5x = 10.6$ hay $5x = 60$, suy ra $x = 12$ (thỏa mãn)

Vậy cần 12 vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì nước đầy bể.

*3.2.*Gọi số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $a,b,c$ cây $\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với $6;4;5$ suy ra $\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$.

Tổng số cây lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là $15$ cây.

Do đó, ta có: $b + c - a = 15$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b + c - a}}{{4 + 5 - 6}} = \frac{{15}}{3} = 5$.

Ta có: $a = 6.5 = 30$ (thỏa mãn), $b = 5.4 = 20$ (thỏa mãn), $c = 5.5 = 25$ (thỏa mãn)

Vậy số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $30$ cây, $20$ cây, $25$ cây.

Hướng dẫn giải

4.1.Áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có:

$AH + HB > AB$ hay $HB > AB - AH$ hay $HB > 4{,}5 - 4$, suy ra $HB > 0{,}5$.

Do đó, khoảng cách từ chân thang đến chân tường lớn hơn $0{,}5{\rm{ m}}$.

Do đó, khẳng định của bạn Huệ là sai.

4.2. a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBD$, có:

$\widehat {ABD} = \widehat {DBH}$

($BD$ là phân giác của $\widehat B$)

$BD$ chung (gt)

$\widehat {DAB} = \widehat {DHB} = 90^\circ$ (gt)

Suy ra $\Delta ABD = \Delta HBD$ (ch – gn)

Do đó, $AB = BH$ (hai cạnh tương ứng).

Suy ra $\Delta ABH$ cân tại $B$ có $BD$ là tia phân giác $\widehat B$.

Suy ra $BD$ cũng là đường trung trực của $AH$. Do đó, $BD \bot AH.$

b) Do $\Delta ABD = \Delta HBD$ (cmt) nên $DA = DH$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác $DAH$ vuông tại $H$ nên có $DA$ là cạnh huyền.

Do đó, $DA > DH$.

Từ đó, suy ra $DC > AD.$

c) Chứng minh được $\Delta ADI = \Delta HDC$ (cgv – gn)

Suy ra $IA = CH$ (hai cạnh tương ứng)

Mà có $AB = BH$, suy ra $AB + AI = BH + HC$ hay $BI = BC$.

Xét $\Delta BIM$ và $\Delta BCM$, có:

$MI = MC$ (gt)

$BM$ chung (gt)

$BI = BC$ (cmt)

Suy ra $\Delta BIM = \Delta BCM$ (c.c.c)

Do đó, $\widehat {IBM} = \widehat {CBM}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $BM$ là phân giác của $\widehat {ABC}$.

Mà $BD$ cũng là phân giác của $\widehat {ABC}$.

Suy ra $B,D,M$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm là $x,y$ với $x,y \ne 0$.

Theo đề, ta có tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với $4:1:45$ nên ta có:

$\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}}$.

Từ đây, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}} = \frac{{x + y + x - y}}{{4 + 1}} = \frac{{x + y - x + y}}{{4 - 1}}$ hay $\frac{{2x}}{5} = \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{45}}$ hay $18x = 30y = xy$.

Ta có: $30y = xy$ hay $30y - xy = 0$ nên $y\left( {30 - x} \right) = 0$.

Vì $x,y \ne 0$ nên $30 - x = 0$ hay $x = 30$, suy ra $y = 18$.

Vậy hai số cần tìm là $30$ và $18$.