Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Cánh diều (2022-2023) có đáp án - Đề 1

Các số tự nhiên có hai chữ số là: $10;11;12;13;...;98;99$, có tất cả $\frac{{99 - 10}}{1} + 1 = 90$ số.

a) Biến cố A: Số được xóa đi chia hết cho 10:

Trong 90 số trên, có 9 số chia hết cho 10 là: $10;20;30;40;50;60;70;80;90$.

Do đó có 9 kết quả làm cho biến cố A xảy ra.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{9}{{90}} = \frac{1}{{10}}$.

b) Biến cố B: Số được xóa đi là số có thể viết được thành bình phương của một số tự nhiên.

Trong 90 số trên, có 6 số viết được thành bình phương của một số tự nhiên là:

$16;25;36;49;64;81$.

Do đó có 6 kết quả làm cho biến cố B xảy ra.

Xác suất của biến cố B là: $\frac{6}{{90}} = \frac{1}{{15}}$.

c) Biến cố C: Số được xóa đi có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2.

Trong 90 số trên, có 5 số có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2 là:

$11;33;55;77;99$.

Do đó có 5 kết quả làm cho biến cố C xảy ra.

Xác suất của biến cố C là: $\frac{5}{{90}} = \frac{1}{{18}}$.

a) Ta có:

$$\begin{array}{l}P\left( x \right) = 3{x^4} + 7{x^2} - {x^3} + 2023 + 8x - 6{x^2} + 2{x^3} - 3{x^4} - 12x\\{\rm{ = }}\left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {8x - 12x} \right) + 2023\\{\rm{ = }}{x^3} + {x^2} - 4x + 2023.\end{array}$$

Do đó $P\left( x \right)$ có:

Bậc là $3$.

Hệ số bậc cao nhất là $1$.

Hệ số tự do là $2023$.

b) Thay $x = 2$ vào $P\left( x \right)$ ta được $P\left( 2 \right) = {2^3} + {2^2} - 4 \cdot 2 + 2023 = 2027$.

c) Thay $x = - 1$ vào $P\left( x \right)$ ta được $P\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + 2023 = 2017 \ne 0$.

Do đó $x = - 1$ không phải là nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$.

d) Ta có:

$\begin{array}{l}M\left( x \right) = P\left( x \right) - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = {x^3} + {x^2} - 4x + 2023 - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = - 4x + 13.\end{array}$

Cho $M\left( x \right) = 0$ ta được $- 4x + 13 = 0$ hay $x = \frac{{13}}{4}$.

Vậy $x = \frac{{13}}{4}$ là nghiệm của đa thức $M\left( x \right)$.

a) $A(x) + B(x) = (2{x^3} - 5{x^2} + x + 5) + (7{x^3} - 2x + 1)$

$$= \left( {2{x^3} + 7{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {x - 2x} \right) + \left( {5 + 1} \right)$$

$$= 9{x^3} - 5{x^2} - x + 6$$

b) $A(x) - B(x) = (2{x^3} - 5{x^2} + x + 5) - (7{x^3} - 2x + 1)$

$$= 2{x^3} - 5{x^2} + x + 5 - 7{x^3} + 2x - 1$$

$$= \left( {2{x^3} - 7{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {x + 2x} \right) + \left( {5 - 1} \right)$$

$= - 5{x^3} - 5{x^2} + 3x + 4$.

a) Xét $\Delta ABC$ có : $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Xét $\Delta ABD$ có $BA = BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết)

Mà $\widehat {ABC} = 60^\circ$ (cmt)

Suy ra $\Delta ABD$ là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta DBE$ có :

$\widehat {BAE} = \widehat {BDE} = 90^\circ$

$BE$ : cạnh chung

$BA = BD\,\,\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {DBE}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$.

c) Chứng minh $AD = \frac{1}{2}BC$.

Theo b ta có $BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$

Mà $\widehat {ABC} = 60^\circ$ nên $\widehat {ABE} = \widehat {DBE} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ$

Lại có $\widehat {ACB} = 30^\circ \,\,\left( {gt} \right)$ nên $\widehat {EBC} = \widehat {ECB} = 30^\circ$.

Do đó $\Delta BCE$ cân tại $E$

$\Delta BCE$ cân tại $E$ có $ED$ là đường cao nên $ED$ đồng thời là đường trung tuyến

$\Rightarrow BD = DC = \frac{1}{2}BC$

Mà $\Delta ABD$ là tam giác đều (theo a) nên $AD = BD = \frac{1}{2}BC$. Do đó $AD = \frac{1}{2}BC$.

d) Xét $\Delta MBC$ có hai đường cao $CA$ và $BN$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của tam giác

Do đó $ME \bot BC$

Lại $ED \bot BC$ nên ba điểm $M,\,E,\,\,D$ thẳng hàng $\Rightarrow DE$ đi qua $M$

Mà $CN$ cắt $BA$ tại $M$ $\Rightarrow$ ba đường thẳng $BA,\,\,CN,\,\,DE$ cùng đi qua điểm $M$.

Đa thức $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có nghiệm là 1 và $- 1$ khi:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a + b + c + d = 0}\\{a - b + c - d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - c}\\{b = - d}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy khi $a = - c$ và $b = - d$ thì đa thức $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có hai nghiệm là $\pm 1$.

• Khi đa thức $f\left( x \right)$ có 2 nghiệm là $\pm 1$ thì ta có:

$f(x) = a{x^3} + b{x^2} - ax - b$

• Ta có $f\left( x \right) = 0$

$\Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} - ax - b = 0$

$\Leftrightarrow {x^2}\left( {ax + b} \right) - \left( {ax + b} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left[ {x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ax + b = 0\\x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{a}\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$$

$\Rightarrow$ Ngoài nghiệm $x = \pm 1$ thì đa thức $f\left( x \right)$ còn nghiệm thứ 3 là $x = - \frac{b}{a}$.