Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}$.

Với $x \ge 0,$ ta luôn có $\sqrt x + 7 > 0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{x}{{x - 4}} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$.

Với $x \ge 0,$ ta có $x - 4 = \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,x - 4 \ne 0$ tức là $x \ge 0,\,\,x \ne 4.$

b) Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$$A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}.$$

Vậy $A = \frac{1}{4}$ khi $x = 25.$

c) Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,$ ta có:

$B = \frac{x}{{x - 4}} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

$= \frac{x}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.$

d) Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,$ ta có: $P = AB = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$$= \frac{x}{{\sqrt x + 7}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,$ ta cũng có $P \ge 0$. Khi đó, $\sqrt P \le \frac{1}{2}$ suy ra $P \le \frac{1}{4}.$

Ta có: $P \le \frac{1}{4}$

$$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 7}} \le \frac{1}{4}$$

$$\frac{{4\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 7} \right)}} \le \frac{{\sqrt x + 7}}{{4\left( {\sqrt x + 7} \right)}}$$

$$4\sqrt x \le \sqrt x + 7$$

$$3\sqrt x \le 7$$

$$\sqrt x \le \frac{7}{3}$$

$$x \le \frac{{49}}{9}$$

Kết hợp các điều kiện, ta có $0 \le x \le \frac{{49}}{9};\,\,x \ne 4.$

Mà $x$ nguyên nên $x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}$.

1. a) Điều kiện xác định: $x \ne 0,x \ne 2$.

Ta có: $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{1}{x} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

$\frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

$x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2$

${x^2} + 2x - x + 2 - 2 = 0$

${x^2} + x = 0$

$x\left( {x + 1} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = 0$ (loại) hoặc $x = - 1$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1$.