Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 1

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt x }}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x \ne 0$, tức là $x > 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0$ và $\sqrt x + 3 \ne 0.$

Với $x \ge 0$ ta thấy $\sqrt x + 3 > 0$ và $\sqrt x - 3 \ne 0$ khi $x \ne 9.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x > 0$ và điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$, $x \ne 9.$

b) Thay $x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{9}} }} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3} - 3 = - \frac{8}{3}.$

Vậy giá trị biểu thức $A = - \frac{8}{3}$ tại $x = \frac{1}{9}.$

c) Với $x \ge 0;x \ne 9$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 6\sqrt x + 9 - \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 6\sqrt x + 9 - x + 6\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 9$ thì $B = \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}.$

d) Với $x > 0;x \ne 9$, ta có:

$P=A\cdot B=(\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{x}})\cdot \frac{12\sqrt{x}}{x-9}$ $=\frac{\sqrt{x}-3}{3\sqrt{x}}.\frac{12\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$ $=\frac{4}{\sqrt{x}+3}$

Với $x > 0;x \ne 9$, ta có $\sqrt x > 0$ nên $\sqrt x + 3 > 3$, suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} < \frac{4}{3}$.

Ta cũng có: $\sqrt x + 3 > 3 > 0$ nên $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0$.

Do đó $0 < P < \frac{4}{3}.$

Như vậy, để $P$ nguyên thì $P = 1$.

Khi đó, ta có: $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,$ suy ra $\sqrt x + 3 = 4$ nên $\sqrt x = 1,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x = 1$ thì $P$ nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định $x \ne 0,\,\,x \ne - 1$.

$\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x}}$

$\frac{{x - 1}}{x} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

${x^2} - 1 + x = 2x + 1$

${x^2} + x - 2x - 2 = 0$

$x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0$

$\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$x + 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$x = - 1$ (loại) hoặc $x = 2$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2$.