Bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 có đáp án

a) Tam thức bậc hai f(x) = 6x$^{2}$ + 41x + 44 có ∆ = 41$^{2}$ – 4.6.44 = 625 > 0 và a = 6 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = $- \frac{4}{3}$ và x$_{2}$ = $- \frac{{11}}{2}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) âm khi x thuộc khoảng $\left( { - \frac{{11}}{2}; - \frac{4}{3}} \right)$, f(x) dương khi x thuộc hai khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{{11}}{2}} \right)$ và $\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$.

b) Tam thức bậc hai g(x) = - 3x$^{2}$ + x – 1 có ∆ = 1$^{2}$ – 4.(-3).(-1) = -11 < 0 và a = -3 < 0. Do đó g(x) vô nghiệm. Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy g(x) âm với mọi x ∈ ℝ.

c) Tam thức bậc hai h(x) = 9x$^{2}$ + 12x + 4 có ∆ = 12$^{2}$ – 4.9.4 = 0 và a = 9 > 0. Do đó h(x) có nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = $\frac{{ - 2}}{3}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy h(x) dương với mọi x ≠ $\frac{{ - 2}}{3}$.

a) Tam thức bậc hai f(x) = 7x$^{2}$ – 19x – 6 có a = 7 > 0 và ∆ = 19$^{2}$ – 4.7.(-6) = 529 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 3 và x$_{2}$ = $- \frac{2}{7}$.

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{2}{7}} \right)$ và (3; +∞), f(x) âm khi x thuộc khoảng $\left( { - \frac{2}{7};3} \right)$ và f(x) = 0 khi x = 3 và x = $- \frac{2}{7}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = $\left( { - \infty ; - \frac{2}{7}} \right]$ ∪ [3; +∞).

b) Tam thức bậc hai g(x) = – 6x$^{2}$ + 11x – 10 có a = - 6 < 0 và ∆ = 11$^{2}$ – 4.(-6).(-10) = -119 < 0. Do đó g(x) vô nghiệm.

Suy ra g(x) luôn âm với mọi x thuộc ℝ

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = $\emptyset$.

c) Ta có: 3x$^{2}$ – 4x + 7 > x$^{2}$ + 2x + 1

⇔ 2x$^{2}$ – 6x + 6 > 0

Tam thức bậc hai h(x) = 2x$^{2}$ – 6x + 6 có a = 2 > 0 và ∆’ = 3$^{2}$ – 2.6 = - 3 < 0. Do đó h(x) có vô nghiệm.

Suy ra h(x) dương với mọi x thuộc ℝ.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = ℝ.

d) Ta có tam thức bậc hai k(x) = x$^{2}$ – 10x + 25 có a = 1 > 0 và ∆’ = 5$^{2}$ – 25 = 0. Do đó k(x) có nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = 5.

Suy ra f(x) dương khi x ≠ 5 và f(x) = 0 khi x = 5.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {5}.

a) Quan sát đồ thị ta thấy:

Với x thuộc hai khoảng (-∞; -2) và $\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$ thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Do đó f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; -2) ∪ $\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$ .

Với x thuộc $\left( { - 2;\frac{5}{2}} \right)$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. Do đó f(x) < 0 khi x ∈ $\left( { - 2;\frac{5}{2}} \right)$.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = - 2 và x = $\frac{5}{2}$.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = $\left[ { - 2;\frac{5}{2}} \right]$.

b) Quan sát hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành với mọi giá trị của x. Do đó f(x) < 0 với mọi x.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $\sqrt {{x^2} - 7x} = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3}$

⇒ x$^{2}$ – 7x = - 9x$^{2}$ – 8x + 3

⇒ 10x$^{2}$ + x – 3 = 0

⇒ x = $\frac{1}{2}$ và x = $- \frac{3}{5}$

Thay lần lượt hai giá trị vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị x = $- \frac{3}{5}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = $\left\{ { - \frac{3}{5}} \right\}$.

b) $\sqrt {{x^2} + x + 8} - \sqrt {{x^2} + 4x + 1} = 0$

⇒ $\sqrt {{x^2} + x + 8} = \sqrt {{x^2} + 4x + 1}$

⇒ x$^{2}$ + x + 8 = x$^{2}$ + 4x + 1

⇒ 3x = 7

⇒ x = $\frac{7}{3}$

Thay x = $\frac{7}{3}$ vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ {\frac{7}{3}} \right\}$.

c) $\sqrt {4{x^2} + x - 1} = x + 1$

⇒ 4x$^{2}$ + x – 1 = x$^{2}$ + 2x + 1

⇒ 3x$^{2}$ – x – 2 = 0

⇒ x = 1 và x = $- \frac{2}{3}$

Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ { - \frac{2}{3};1} \right\}$.

d) $\sqrt {2{x^2} - 10x - 29} = \sqrt {x - 8}$

⇒ 2x$^{2}$ – 10x – 29 = x – 8

⇒ 2x$^{2}$ – 11x – 21 = 0

⇒ x = 7 và x = $- \frac{3}{2}$

Thay lần lượt hai giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\emptyset$.

Không mất tính tổng quát giả sử tam giác cần xét là tam giác vuông tại A có độ dài cạnh AC ngắn hơn cạnh huyền BC 8cm.

Đặt BC = x (cm)

Khi đó AC = x – 8 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí Py – ta – go)

⇔ x$^{2}$ = AB$^{2}$ + (x – 8)$^{2}$

⇔ AB$^{2}$ = x$^{2}$ – (x – 8)$^{2}$

⇔ AB$^{2}$ = x$^{2}$ – (x$^{2}$ – 16x + 64)

⇔ AB$^{2}$ = 16x – 64

⇔ AB = $\sqrt {16x - 64}$ (cm)

Chu vi tam giác ABC là: x + x – 8 + $\sqrt {16x - 64}$ = 2x – 8 + $\sqrt {16x - 64}$ (cm)

Mà chu vi tam giác bằng 30cm nên có phương trình 2x – 8 + $\sqrt {16x - 64}$= 30

⇒ $\sqrt {16x - 64}$= 38 – 2x

⇒ 16x – 64 = 1 444 – 152x + 4x$^{2}$

⇒ 4x$^{2}$ – 168x + 1 508 = 0

⇒ x$^{2}$ – 42x + 377 = 0

⇒ x = 29 và x = 13

Thay lần lượt vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = 13 thỏa mãn.

Vậy độ dài cạnh huyền bằng 13cm thì tam giác thỏa mãn điều kiện đầu bài.