10 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét f(x) = (m – 3)x$^{2}$ + (m + 3)x – (m + 1).

Ta có:

∆ = (m + 3)$^{2}$ – 4.(m – 3).[–(m + 1)]

= m$^{2}$ + 6m + 9 + 4.(m – 3)(m + 1)

= m$^{2}$ + 6m + 9 + 4(m$^{2}$ – 2m – 3)

= 5m$^{2}$ – 2m – 3.

Ta có f(x) là một tam thức bậc hai và có nghiệm kép khi và chỉ khi a ≠ 0 và ∆ = 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m-3\ne 0 \\ 5{m}^{2}-2m-3=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m\ne 3 \\ (m-1)(5m+3)=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m\ne 3 \\ [\begin{matrix}m-1=0 \\ 5m+3=0\end{matrix}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m\ne 3 \\ [\begin{matrix}m=1 \\ m=-\frac{3}{5}\end{matrix}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}m=1 \\ m=-\frac{3}{5}\end{matrix}$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét f(x) = x$^{2}$ + 2(m – 1)x + m$^{2}$ – 3m + 4.

Ta có:

∆’ = (m – 1)$^{2}$ – 1.(m$^{2}$ – 3m + 4)

= m$^{2}$ – 2m + 1 – m$^{2}$ + 3m – 4

= m – 3.

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Ta có f(x) ≥ 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a > 0 và ∆’ ≤ 0.

⇔ 1 > 0 (luôn đúng) và m – 3 ≤ 0.

⇔ m ≤ 3.

Vậy m ≤ 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu m = 0 ta có f(x) = –1 < 0 khi đó f(x) ≥ 0 vô nghiệm.

Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu m ≠ 0 thì f(x) = mx$^{2}$ – 2mx + m – 1 là tam thức bậc hai.

Ta có:

∆’ = (–m)$^{2}$ – m.(m – 1)

= m$^{2}$ – m$^{2}$ + m

= m.

Ta có f(x) ≥ 0 vô nghiệm. Nghĩa là, f(x) < 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a < 0 và ∆’ < 0

⇔ m < 0 và m < 0

⇔ m < 0.

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi (2 – 3m)x$^{2}$ + 2mx + m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = (2 – 3m)x$^{2}$ + 2mx + m – 1.

Trường hợp 1: a = 0 ⇔ 2 – 3m = 0 ⇔ m = $\frac{2}{3}$.

Với $m=\frac{2}{3}$, ta có $0.{x}^{2}+2.\frac{2}{3}.x+\frac{2}{3}-1>0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{4}$.

Do đó $m=\frac{2}{3}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: a ≠ 0.

Khi đó f(x) là tam thức bậc hai có:

∆’ = m$^{2}$ – (2 – 3m)(m – 1)

= m$^{2}$ – (–3m$^{2}$ + 5m – 2)

= 4m$^{2}$ – 5m + 2.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì a > 0 và ∆ < 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2-3m>0 \\ 4{m}^{2}-5m+2<0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m<\frac{2}{3} \\ 4{m}^{2}-5m+2<0\end{matrix}$ (1)

Ta giải bất phương trình 4m$^{2}$ – 5m + 2 < 0 như sau:

Tam thức bậc hai g(m) = 4m$^{2}$ – 5m + 2 có ∆ = (–5)$^{2}$ – 4.4.2 = –7 < 0.

Do đó g(m) vô nghiệm.

Ta lại có a$_{m}$ = 4 > 0.

Vì vậy g(m) > 0, với mọi giá trị của m ∈ ℝ.

Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn g(m) = 4m$^{2}$ – 5m + 2 < 0.

Vì vậy không có giá trị nào của m để (1) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ ∅.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3x-4}=x-3$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)$^{2}$

⇒ 3x – 4 = x$^{2}$ – 6x + 9

⇒ x$^{2}$ – 9x + 13 = 0

⇒ $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ hoặc $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$.

Với $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (đúng)

Với $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9-\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9-\sqrt{29}}{2}-3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ và $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3x-4}=x-3$, ta thấy chỉ có $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.